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【2021金沢工業大学】分母が3つの積の部分分数分解

数学(大学入試問題)

【2021金沢工業大学(一部問題文改)】

分子が等差数列,分母が連続する \(3\) つの整数の積である有理数からなる数列

\(\displaystyle\frac{9}{1\cdot 2\cdot 3}\) , \(\displaystyle\frac{14}{2\cdot 3\cdot 4}\) , \(\displaystyle\frac{19}{3\cdot 4\cdot 5}\) , \(\displaystyle\frac{24}{4\cdot 5\cdot 6}\) , \(\cdots\) を \(\left\{a_{n}\right\}\) とする.

(1) 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項は \(a_{n}\) を求めよ.

(2) \(a_{n}=\displaystyle\frac{a}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{b}{(n+1)(n+2)}\) (  \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) ) を満たす \(a\) , \(b\) を求めよ.

(3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を求めよ.

分母に積の形でΣ(和)をとるとき,部分分数分解を行います!

ここでは分母が3つの積の形になっているタイプの有名問題です。

(1)→(2)→(3)の流れが考え方で,丁寧な誘導になっていますので,しっかりと解法の流れをマスターしましょう!

(1)解答・解説[等差数列]

分子について

初項が \(9\) , 公差が \(5\) の等差数列であるから

\(9+(n-1)\cdot 5=5n+4\)

よって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{5n+4}{n(n+1)(n+2)}\)

(2)解答・解説[恒等式]

(1)より

\(\displaystyle\frac{5n+4}{n(n+1)(n+2)}=\displaystyle\frac{a}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{b}{(n+1)(n+2)}\)

両辺を \(n(n+1)(n+2)\) 倍すると

\(5n+4=a(n+2)+bn=(a+b)n+2a\)

\(\begin{cases}a+b=5\\2a=4\end{cases}\)

よって,\(a=2\) , \(b=3\)

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{2}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{3}{(n+1)(n+2)}\)

(3)解答・解説

(2)より

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{\displaystyle\frac{2}{k(k+1)}+\displaystyle\frac{3}{(k+1)(k+2)}\right\}}\)

ここで \(S_{1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}}\) , \(S_{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)}}\) とおく.

\(S_{1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1}\right)}\) より

\(S_{1}=\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=1-\displaystyle\frac{1}{n+1}\)

\(S_{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k+1}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)}\) より \(S_{1}\) と同様に考え

\(S_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\)

したがって,

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=2S_{1}+3S_{2}\) より

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=2\left(1-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)+3\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\)

式を整理すると

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\frac{n(7n+11)}{2(n+1)(n+2)}\)

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