【2021金沢工業大学】分母が３つの積の部分分数分解

分母に積の形でΣ(和)をとるとき，部分分数分解を行います！

ここでは分母が３つの積の形になっているタイプの有名問題です。

(１)→(２)→(３)の流れが考え方で，丁寧な誘導になっていますので，しっかりと解法の流れをマスターしましょう！

(１)解答・解説[等差数列]

分子について

初項が \(9\) , 公差が \(5\) の等差数列であるから

\(9+(n-1)\cdot 5=5n+4\)

よって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{5n+4}{n(n+1)(n+2)}\)

(２)解答・解説[恒等式]

(１)より

\(\displaystyle\frac{5n+4}{n(n+1)(n+2)}=\displaystyle\frac{a}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{b}{(n+1)(n+2)}\)

両辺を \(n(n+1)(n+2)\) 倍すると

\(5n+4=a(n+2)+bn=(a+b)n+2a\)

\(\begin{cases}a+b=5\\2a=4\end{cases}\)

よって，\(a=2\) , \(b=3\)

したがって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{2}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{3}{(n+1)(n+2)}\)

(３)解答・解説

(２)より

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{\displaystyle\frac{2}{k(k+1)}+\displaystyle\frac{3}{(k+1)(k+2)}\right\}}\)

ここで \(S_{1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}}\) , \(S_{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{(k+1)(k+2)}}\) とおく．

\(S_{1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1}\right)}\) より

\(S_{1}=\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=1-\displaystyle\frac{1}{n+1}\)

\(S_{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k+1}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)}\) より \(S_{1}\) と同様に考え

\(S_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\)

したがって，

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=2S_{1}+3S_{2}\) より

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=2\left(1-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)+3\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\)

式を整理すると

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\frac{n(7n+11)}{2(n+1)(n+2)}\)