【2003京都大学】
\(\displaystyle\frac{23}{111}\) を \(0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots\) のように小数で表す．すなわち小数第 \(k\) 位の数を \(a_{k}\) とする．
このとき \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\) を求めよ．
解答・解説
\(\displaystyle\frac{23}{111}=0.207207207\cdots\) より
\(a_{3k-2}=2\) , \(a_{3k-1}=0\) , \(a_{3k}=7\)
したがって，求める和を \(S_{n}\) とすると，
\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{0}{3^2}+\displaystyle\frac{7}{3^3}+\displaystyle\frac{2}{3^4}+\displaystyle\frac{0}{3^5}+\displaystyle\frac{7}{3^6}+\cdots\)
\(m\) を自然数として
( ⅰ ) \(n=3m\) のとき
\(S_{3m}=2\left(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3^4}+\displaystyle\frac{1}{3^7}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^{3m-2}}\right)+7\left(\displaystyle\frac{1}{3^3}+\displaystyle\frac{1}{3^6}+\displaystyle\frac{1}{3^9}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)\)
\(=2\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^m\right\}}{1-\displaystyle\frac{1}{27}}+7\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{27}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^m\right\}}{1-\displaystyle\frac{1}{27}}\)
\(=\displaystyle\frac{18}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)+\displaystyle\frac{7}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)\)
\(n=3m\) より
\(S_{n}=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{n}}\right)\)
( ⅱ ) \(n=3m-1\) のとき
\(S_{3m-1}=S_{3m}-\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\)
\(=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)-\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{3m-2}}\right)\)
\(n=3m-1\) より
\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n-1}}\right)\)
( ⅲ ) \(n=3m-2\) のとき
\(S_{3m-2}=S_{3m}-\left(\displaystyle\frac{0}{3^{3m-1}}+\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)-\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{3m-2}}\right)\)
\(n=3m-2\) より
\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n}}\right)\)
したがって，\(m\) を自然数として
\(n=3m\) のとき \(S_{n}=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{n}}\right)\)
\(n=3m-1\) のとき \(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n-1}}\right)\)
\(n=3m-2\) のとき \(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n}}\right)\)
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