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【2003京都大学】23/111の小数第k位の数をak .Σak/3^kを求めよ.

数学(大学入試問題)

【2003京都大学】

\(\displaystyle\frac{23}{111}\) を \(0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots\) のように小数で表す.すなわち小数第 \(k\) 位の数を \(a_{k}\) とする.

このとき \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\) を求めよ.

解答・解説

\(\displaystyle\frac{23}{111}=0.207207207\cdots\) より

\(a_{3k-2}=2\) , \(a_{3k-1}=0\) , \(a_{3k}=7\)

したがって,求める和を \(S_{n}\) とすると,

\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{0}{3^2}+\displaystyle\frac{7}{3^3}+\displaystyle\frac{2}{3^4}+\displaystyle\frac{0}{3^5}+\displaystyle\frac{7}{3^6}+\cdots\)

\(m\) を自然数として

( ⅰ ) \(n=3m\) のとき

\(S_{3m}=2\left(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3^4}+\displaystyle\frac{1}{3^7}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^{3m-2}}\right)+7\left(\displaystyle\frac{1}{3^3}+\displaystyle\frac{1}{3^6}+\displaystyle\frac{1}{3^9}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)\)

\(=2\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^m\right\}}{1-\displaystyle\frac{1}{27}}+7\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{27}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^m\right\}}{1-\displaystyle\frac{1}{27}}\)

\(=\displaystyle\frac{18}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)+\displaystyle\frac{7}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)\)

\(n=3m\) より

\(S_{n}=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{n}}\right)\)

 

( ⅱ ) \(n=3m-1\) のとき

\(S_{3m-1}=S_{3m}-\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\)

\(=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)-\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{3m-2}}\right)\)

\(n=3m-1\) より

\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n-1}}\right)\)

 

( ⅲ ) \(n=3m-2\) のとき

\(S_{3m-2}=S_{3m}-\left(\displaystyle\frac{0}{3^{3m-1}}+\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{3m}}\right)-\displaystyle\frac{7}{3^{3m}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{3m-2}}\right)\)

\(n=3m-2\) より

\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n}}\right)\)

 

したがって,\(m\) を自然数として

\(n=3m\) のとき \(S_{n}=\displaystyle\frac{25}{26}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^{n}}\right)\)

\(n=3m-1\) のとき \(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n-1}}\right)\)

\(n=3m-2\) のとき \(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{26}\left(25-\displaystyle\frac{23}{3^{n}}\right)\)

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