京都大学

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【1993京都大学】次数決定f(x)が定数であることの証明

頻出・次数決定問題。f(x)のn,n-1次の係数に注目し、係数比較から考える。1993京大・文理共通・過去問題演習・対策。背理法。数学Ⅱ
式と曲線

【1993京都大学】Pから双曲線に引いた2つの接線。2接点とPで囲まれた三角形の面積の最小

双曲線に点P(0,p)から引いた接線。2接点A,Bと点Pによってできる△PABの面積が最小となるときのpの値。1993京大・理系・第1問。数学Ⅲ:式と曲線、微分。
複素数平面まとめ(数Ⅲ)

【2003京都大学】1の虚数立方根w(オメガ)、因数定理

多項式 (x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1 は多項式 x^2+x+1 で割り切れるか.オメガ(w)を利用した有名入試問題。2003京都大学・過去問演習・対策。数学Ⅱ;複素数と方程式
京都大学

【2013京都大学】2次導関数を利用した最大値、偶関数の利用

微分=0の値が求められないとき、2次導関数を利用した最大・最小値を求める微分の典型・頻出問題。2013京大過去問を用いて演習・対策を解説。また差がつくポイントとして、偶関数、奇関数の活用。数学Ⅲ:微分
京都大学

【2012京都大学】部分積分、tanθの置換積分|数学Ⅲ:積分の計算

部分積分と置換積分の教科書レベルの基本的な内容の積分計算。京大2012年度過去問対策。入試演習。数学Ⅲ:積分。2012京都大学・理系・第1問[2]
京都大学

【2011京都大学】置換積分、三角関数の積分(x=asinθ)|数学Ⅲ:積分の計算

根号(ルート)を含む式の置換積分。教科書レベルの基本的な内容の積分計算。京大2011年度過去問対策。入試演習。数学Ⅲ:積分。2011京都大学・理系・第1問[2]
京都大学

【2007京都大学・甲・第6問】回転体の体積|2曲線で囲まれた部分をx軸周りに回転

数学Ⅲの回転体の体積。基本的な問題演習として、京都大学の過去問を用いて演習・解説。2007京大・理系過去問演習・対策。数学Ⅲ積分。
極限

【2012京都大学】数列の極限|公比rの値による場合分け

等比数列rのn乗の極限は、rの大きさ(r<-1,r=-1,-1<r<1,r=1,1<r)の5つの場合分けで考えるのが基本である。その例題演習として、2012京都大学の過去問を利用して練習。京大過去問。2次試験、定期考査対策。数学Ⅲ:極限
2021年入試問題

【2021京都大学】平均値の定理|f(a)=af(1)を満たすとき、y=f(x)の接線で原点を通るものが存在

平均値の定理を利用した、存在証明。与えられた関係式から、平均値の定理を利用し、原点を通る直線へと式変形。2021京大・理系。過去問対策、演習。数学Ⅲ
京都大学

【2002京都大学】アルキメデスの螺旋|極方程式r=θの曲線の長さ

アルキメデスの螺旋の曲線の長さを求める問題。2002年京大過去問演習・対策。京都大学では、2009、2021年にも曲線の長さが出題されている。極方程式から媒介変数表示にし、積分を利用して求める。頻出・重要問題。
微分・積分(数学Ⅲ)

【2009京都大学】極方程式、媒介変数、曲線の長さ|r=1+cosθ(0≦θ≦π)

極方程式r=1+cosθの0≦θ≦πの部分の曲線の長さについて。媒介変数表示し、積分を用いて計算(三角関数の積分)。この1問で、三角関数の公式(加法定理、半角、倍角など)、積分、極方程式、媒介変数など様々なことが復習できる良問。2009年京大、理系、過去問演習、対策。
積分まとめ

【2021京都大学・理系・第4問】曲線の長さ(数学Ⅲ:積分の応用)

曲線の長さの公式と例題。基本的な公式に当てはめて計算するだけの基礎問題。1/cosxの置換積分の計算も典型・頻出。2021京大(理系)過去問演習・対策。
数列

【2010京都大学】数学的帰納法(全段仮定)|差がつく良問(数学B数列)

n≦kを満たすすべてのnで成り立つと仮定し,n=k+1のときに示す.数学的帰納法の有名3タイプのうちの「全段仮定法」.経験で差がつく入試問題.2010京大過去問演習・対策。数学B。また別解として背理法の紹介。
数列

【2003京都大学】23/111の小数第k位の数をak .Σak/3^kを求めよ.

循環小数から数列の規則性に注目し、nが3で割った余りで場合分け。式をまとめ、等比数列の和(シグマ)として考える。2003京大過去問演習。数学B:数列
ベクトル

【2008京都大学】平行四辺形の頂点となるものが存在する証明|1次独立なベクトルの利用

ベクトルにおける最重要・基本事項の「一次独立」について、差がつく良問。一次独立なベクトルの線形和を用いて、平行四辺形の存在証明。 2008京都大学・乙[第3問]過去問演習、過去問対策。数学B空間ベクトル
京都大学

【2019京都大学】半径1の球面上の5点の四角錐の体積の最大|微分

底面を固定し、高さを最大にする四角錐の体積の最大を求める典型・頻出問題。体積を3次関数で表し、微分、増減表を利用して考える。2019京大過去問演習。数学Ⅱ微分積分の最大最小。
京都大学

【2019京都大学・理系】cosθは無理数,cos2θとcos3θがともに有理数となるθ

数学Ⅱの三角関数と有理数・無理数の論証問題の融合問題。2倍角、3倍角の公式、背理法を利用。標準的良問。2019京大過去問・対策・演習。
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【2012京都大学】cos aθ=cos bθ,0<θ≦πとなるθがちょうど1つある正の実数(a,b)の範囲

cosA=cosBとなるA,Bの関係式。また和積の公式を利用した別解。京大過去問演習。頻出良問。数学Ⅱ:三角関数
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【1992京都大学】sin3θ=sin2θ、sin3θ=msin2θ+nsinθを満たす0以上の整数m,n

sinA=sinBとなるA,Bの関係式。また和積の公式を利用した別解。京大過去問演習。頻出良問。数学Ⅱ:三角関数
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【2002京都大学】三角関数の解の個数の対応関係|置き換えによる定数分離(3次関数)

cos3θ-cos2θ+3cosθ-1=aの解の個数をaについて分類.2倍角、3倍角の公式を利用し、x=cosθと置き換え.3次方程式の解の個数を両辺のグラフの交点の個数から考える.その際に解の個数の対応関係に注意・配慮しながら考える.2002京大対策過去問演習.数学Ⅱ:三角関数と微分
京都大学

【1999京都大学】y=x^2上の2点P,Qの中点Rの軌跡(PQと放物線で囲まれた面積が1)

最頻出の6分の1面積公式を利用。また対称式を利用した中点の軌跡。京大過去問演習。数学Ⅱ:図形と方程式・微分積分。良問演習。
2022年入試問題

【頻出|2022京都大学・文】放物線と直交する2接線で囲まれた図形の面積

最頻出:放物線と2つの接線で囲まれた図形の面積。共通テスト(センター試験)、私大入試で使える12分の1の面積公式も紹介。接線の方程式、解と係数の関係、固まりとしての積分計算。数学Ⅱ:微分積分。定期考査・2次試験対策。京大過去問演習。
図形の性質

【2016京都大学】垂線が対面の外心を通るとき、正四面体である証明|空間図形

「頂点A,B,Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る」とき,四面体OABCは正四面体であることの証明。外心とは垂直二等分線の交点、各頂点への距離が等しい点。京大過去問演習。2次試験対策。数学A:空間図形、三角形の5心(外心、内心、重心、垂心、傍心)
ベクトル

【2012京都大学】空間図形・正四面体|△PQRが正三角形ならばAB,BC,CAはPQ,QR,RPと平行

正四面体OABCにおいて、OA、OB、OC上の点P、Q、Rに対して、三角形PQRが正三角形ならばPQ // AB , QR // BC , RP // CAであることの証明問題。京大過去問演習。2次試験対策。数学B:空間図形・ベクトル
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