京都大学

数学(大学入試問題)

【2002京都大学】アルキメデスの螺旋|極方程式r=θの曲線の長さ

アルキメデスの螺旋の曲線の長さを求める問題。2002年京大過去問演習・対策。京都大学では、2009、2021年にも曲線の長さが出題されている。極方程式から媒介変数表示にし、積分を利用して求める。頻出・重要問題。
数学(大学入試問題)

【2009京都大学】極方程式、媒介変数、曲線の長さ|r=1+cosθ(0≦θ≦π)

極方程式r=1+cosθの0≦θ≦πの部分の曲線の長さについて。媒介変数表示し、積分を用いて計算(三角関数の積分)。この1問で、三角関数の公式(加法定理、半角、倍角など)、積分、極方程式、媒介変数など様々なことが復習できる良問。2009年京大、理系、過去問演習、対策。
数学(大学入試問題)

【2021京都大学・理系・第4問】曲線の長さ(数学Ⅲ:積分の応用)

曲線の長さの公式と例題。基本的な公式に当てはめて計算するだけの基礎問題。1/cosxの置換積分の計算も典型・頻出。2021京大(理系)過去問演習・対策。
数列

【2010京都大学】数学的帰納法(全段仮定)|差がつく良問(数学B数列)

n≦kを満たすすべてのnで成り立つと仮定し,n=k+1のときに示す.数学的帰納法の有名3タイプのうちの「全段仮定法」.経験で差がつく入試問題.2010京大過去問演習・対策。数学B。また別解として背理法の紹介。
数学(大学入試問題)

【2003京都大学】23/111の小数第k位の数をak .Σak/3^kを求めよ.

循環小数から数列の規則性に注目し、nが3で割った余りで場合分け。式をまとめ、等比数列の和(シグマ)として考える。2003京大過去問演習。数学B:数列
数学(大学入試問題)

【2008京都大学】平行四辺形の頂点となるものが存在する証明|1次独立なベクトルの利用

ベクトルにおける最重要・基本事項の「一次独立」について、差がつく良問。一次独立なベクトルの線形和を用いて、平行四辺形の存在証明。 2008京都大学・乙[第3問]過去問演習、過去問対策。数学B空間ベクトル
数学(大学入試問題)

【2019京都大学】半径1の球面上の5点の四角錐の体積の最大|微分

底面を固定し、高さを最大にする四角錐の体積の最大を求める典型・頻出問題。体積を3次関数で表し、微分、増減表を利用して考える。2019京大過去問演習。数学Ⅱ微分積分の最大最小。
数学(大学入試問題)

【2019京都大学・理系】cosθは無理数,cos2θとcos3θがともに有理数となるθ

数学Ⅱの三角関数と有理数・無理数の論証問題の融合問題。2倍角、3倍角の公式、背理法を利用。標準的良問。2019京大過去問・対策・演習。
数学(大学入試問題)

【2012京都大学】cos aθ=cos bθ,0<θ≦πとなるθがちょうど1つある正の実数(a,b)の範囲

cosA=cosBとなるA,Bの関係式。また和積の公式を利用した別解。京大過去問演習。頻出良問。数学Ⅱ:三角関数
数学(大学入試問題)

【1992京都大学】sin3θ=sin2θ、sin3θ=msin2θ+nsinθを満たす0以上の整数m,n

sinA=sinBとなるA,Bの関係式。また和積の公式を利用した別解。京大過去問演習。頻出良問。数学Ⅱ:三角関数
数学(大学入試問題)

【2002京都大学】三角関数の解の個数の対応関係|置き換えによる定数分離(3次関数)

cos3θ-cos2θ+3cosθ-1=aの解の個数をaについて分類.2倍角、3倍角の公式を利用し、x=cosθと置き換え.3次方程式の解の個数を両辺のグラフの交点の個数から考える.その際に解の個数の対応関係に注意・配慮しながら考える.2002京大対策過去問演習.数学Ⅱ:三角関数と微分
数学(大学入試問題)

【1999京都大学】y=x^2上の2点P,Qの中点Rの軌跡(PQと放物線で囲まれた面積が1)

最頻出の6分の1面積公式を利用。また対称式を利用した中点の軌跡。京大過去問演習。数学Ⅱ:図形と方程式・微分積分。良問演習。
数学(大学入試問題)

【頻出|2022京都大学・文】放物線と直交する2接線で囲まれた図形の面積

最頻出:放物線と2つの接線で囲まれた図形の面積。共通テスト(センター試験)、私大入試で使える12分の1の面積公式も紹介。接線の方程式、解と係数の関係、固まりとしての積分計算。数学Ⅱ:微分積分。定期考査・2次試験対策。京大過去問演習。
数学(大学入試問題)

【2016京都大学】垂線が対面の外心を通るとき、正四面体である証明|空間図形

「頂点A,B,Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る」とき,四面体OABCは正四面体であることの証明。外心とは垂直二等分線の交点、各頂点への距離が等しい点。京大過去問演習。2次試験対策。数学A:空間図形、三角形の5心(外心、内心、重心、垂心、傍心)
数学(大学入試問題)

【2012京都大学】空間図形・正四面体|△PQRが正三角形ならばAB,BC,CAはPQ,QR,RPと平行

正四面体OABCにおいて、OA、OB、OC上の点P、Q、Rに対して、三角形PQRが正三角形ならばPQ // AB , QR // BC , RP // CAであることの証明問題。京大過去問演習。2次試験対策。数学B:空間図形・ベクトル
数学(大学入試問題)

【2021京都大学(理)】平面に対称な点|平面の方程式の利用|数学B空間ベクトル

平面の方程式と平面に関して対称な点。平面の方程式は学校ではあまり学習しないが入試頻出の差がつくテーマ。数学B空間ベクトル。京大過去問演習。2次試験対策。頻出・重要問題。外積、平面の方程式の利用。
数学(大学入試問題)

【2009京都大学】正射影ベクトルとは?正射影ベクトルの利用・演習

差をつける解法。正射影ベクトルについての公式・考え方(使い方)・求め方・解法を紹介。京大過去問演習。2次試験対策。数学Bベクトル。発展
数学(大学入試問題)

OAとBC,OBとAC,OCとABが垂直で4つの面積が等しい四面体OABC⇒正四面体【2003京都大学】

京大頻出の四面体に関する論証問題。四面体が正四面体となるための同値条件についての証明問題。 京大過去問演習。数学B空間ベクトル。
数学(大学入試問題)

【2021京都大学・文】垂心の位置ベクトル|頻出・基本問題

OA=3,OB=2,AOB=60°を満たす三角形OABの垂心HにおけるOHベクトル。基礎基本となる頻出問題。数学B平面ベクトル。三角形の5心の位置ベクトル。 定期考査、共通テスト対策。京大過去問演習
数学(大学入試問題)

【2004京都大学(文)】角の二等分線と円のベクトル方程式の交点の位置ベクトル

ポイントは角の2等分線上のベクトルについて。また中心がB、半径ルート10の円のベクトル方程式との交点。数学B:平面ベクトル。京大過去問演習。2次試験対策。差がつく良問。
数学(大学入試問題)

【2007京都大学】空間上の2直線上の点の距離の最小値|媒介変数表示、2変数関数(予選決勝法)の利用

媒介変数を利用して空間上の直線を表現し、直線上の2点P、Qの距離の最小値を考える。解法1としては、予選決勝法(1文字固定)を利用した解答。解法2としては、方向ベクトルとPQベクトルが垂直(内積が0)であることを利用した解答。京都大学2次対策。過去問演習。数学B空間ベクトル。
数学(大学入試問題)

【2013京都大学】1次独立と共線条件・幾何(相似)を利用した別解

平面図形の問題を見たら幾何、ベクトル、座標の3パターンの解法を考える癖を!平行四辺形におけるAP:PQ。点P、Qをそれぞれ2通りずつで表し、APベクトル、AQベクトルを求める.受験数学における頻出・重要問題。数学Bベクトル。また幾何(相似)を利用した別解を紹介。
数学(大学入試問題)

【2007京都大学】命題√n,√(n+1)はともに有理数?無理数?真偽証明

あるnに対してルートnとルート(n+1)はともに無理数、すべてのnに対して、ルート(n+1)ールートnは無理数であることの証明。数学1。命題(背理法)。真偽、論証問題。2007京大・文系(第5問)・数学過去問。2次試験対策。
数学(大学入試問題)

【2020京都大学・第3問(文)】mn^2+am^2+n^2+8が16で割り切れる整数m,n|整数問題

偶数・奇数に注目した場合分け。難問のため、いかに部分点をとって差をつけられるかどうが大切。京都大学過去問演習。数学A整数問題。倍数問題。
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