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【ベクトルまとめ】おさえておきた入試頻出・重要問題

ベクトル

入試問題の中でも,『ベクトル』は頻出テーマで,受験対策を行う上で避けては通れない分野になります。

ここでは,有名・頻出問題を集めました。

ベクトルに特化したまとめページになりますので,偏りはありますが,知っておきたい・差がつく問題の演習としてご利用ください!

【2021神戸大学(理)】ベクトルのなす角と相加・相乗平均

【2021神戸大学(理)】

\(\overrightarrow{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) が垂直であるとする.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) ( \(0≦\theta≦\pi\) ) とする.以下の問に答えよ.

(1) \(\left|\overrightarrow{a}\right|=x\) , \(\left|\overrightarrow{b}\right|=y\) とするとき,\(\sin^2 \theta\) を \(x\) , \(y\) を用いて表せ.

(2) \(\theta\) の最大値を求めよ.

解答・解説は「こちら

【2021京都大学・文】垂心の位置ベクトル

【2021京都大学・文】

\(\triangle 0AB\) において,\(OA=3\) , \(OB=2\) , \(\angle AOB=60°\) とする.\(\triangle OAB\) の垂心 \(H\) とするとき,\(\overrightarrow{OH}\) を \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) を用いて表せ.

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【オイラー直線】外心・重心・垂心が一直線上

【オイラー直線】

任意の三角形の外心を \(O\) , 重心を \(G\) , 垂心を \(H\) とおくとき,

\(3\) 点 \(O\) ,  \(G\) ,  \(H\) は一直線上にある.

また,\(OG:GH=1:2\) を満たす.

解答・解説は「こちら

【2013京都大学】1次独立と共線条件

【2013京都大学(文理共通)】

平行四辺形 \(ABCD\) において,辺 \(AB\) を \(1 : 1\) に内分する点を \(E\),辺 \(BC\) を \(2 : 1\) に内分する点を \(F\),辺 \(CD\) を \(3 : 1\) に内分する点を \(G\) とする.線分 \(CE\) と線分 \(FG\) の交点を \(P\) とし,線分 \(AP\) を延長した直線と辺 \(BC\) の交点を \(Q\) とするとき,比 \(AP : PQ\) を求めよ.

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【頻出】共面条件(係数の和が1)

【問題(4STEP数B125)】

四面体 \(OABC\) の辺 \(OA\) の中点を \(M\) , 辺 \(BC\) を \(2 : 1\) に内分する点を \(Q\) , 線分 \(MQ\) の中点を \(R\) とし,直線 \(OR\) と平面 \(ABC\) の交点を \(P\) とする.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とするとき,\(\overrightarrow{OP}\) を \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{c}\) を用いて表せ.

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【2016神戸大学】空間ベクトルの一次独立|共線・共面条件

【2016神戸大学・文理(一部)】

四面体 \(OABC\) において,\(P\) を辺 \(OA\) の中点,\(Q\) を辺 \(OB\) を \(2 : 1\) に内分する点,\(R\) を辺 \(BC\) の中点とする.\(P\) , \(Q\) , \(R\) を通る平面と辺 \(AC\) の交点を \(S\) とする.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とおく.以下の問に答えよ.

(1) \(\overrightarrow{PQ}\) , \(\overrightarrow{PR}\) をそれぞれ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) を用いて表せ.

(2) 比 \(\left|\overrightarrow{AS}\right| : \left|\overrightarrow{SC}\right|\) を求めよ.

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【頻出】四面体の体積(空間座標)|共面条件・垂直条件

\(4\) 点 \(O ( 0 , 0 , 0 )\) ,  \(A ( 1 , 2 , 0 )\) ,  \(B ( 3 , 0 , 4 )\) ,  \(C ( 0 , 1 , 1 )\) がある.

四面体 \(OABC\) の体積を求めよ.

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【対称性の利用】空間ベクトル(共面・ 垂直条件)2010神戸大学

【2010神戸大学・文(一部)】

空間内に \(4\) 点 \(O\) , \(A\) , \(B\) , \(C\) があり,

\(OA=3\) , \(OB=OC=4\) , \(\angle BOC=\angle COA=\angle AOB=\displaystyle\frac{\pi}{3}\)

であるとする.\(3\) 点 \(A\) , \(B\) , \(C\) を通る平面に垂線 \(OH\) をおろす.

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}\) , \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}\) とし,

\(\overrightarrow{OH}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\)

と表すとき, \(r\) , \(s\) , \(t\) を求めよ.

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【京都大学】角の二等分線と円のベクトル方程式の交点の位置ベクトル

【2004京都大学(文)】

\(\triangle OAB\) において,\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) ,\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}\) とする.

\(\left|\overrightarrow{a}\right|=3\) , \(\left|\overrightarrow{b}\right|=5\) , \(\cos\angle AOB=\displaystyle\frac{3}{5}\)

とする.このとき,\(\angle AOB\) の \(2\) 等分線と,\(B\) を中心とする半径 \(\sqrt{10}\) の円との交点の,\(O\) を原点とする位置ベクトルを \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) を用いてあらわせ.

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【2007大阪大学】反転(軌跡)OP・OQ=1

【2007大阪大学】

\(xy\) 平面において,原点 \(O\) を通る半径 \(r\) ( \(r>0\) ) の円を \(C\) とし,その中心を \(A\) とする.\(O\) を除く \(C\) 上の点 \(P\) に対し,次の条件 \((a)\) , \((b)\) で定まる点 \(Q\) を考える.

\((a)\) \(\overrightarrow{OP}\) と \(\overrightarrow{OQ}\) は向きが同じ.

\((b)\) \(\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1\).

以下の問いに答えよ.

(1) 点 \(P\) が \(O\) を除く \(C\) 上を動くとき,点 \(Q\) は \(\overrightarrow{OA}\) に直交する直線上を動くことを示せ.

(2) (1)の直線を \(l\) とする.\(l\) が \(C\) と \(2\) 点で交わるとき, \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ.

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【2009京都大学】正射影ベクトルの利用・演習

【2009京都大学】

\(xyz\) 平面上の \(2\) 点 \(A(-3,-1,1)\) , \(B(-1,0,0)\) を通る直線 \(l\) に点 \(C(2,3,3)\) から下ろした垂線の足 \(H\) の座標を求めよ.

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【2022慶應義塾大学・商学部】面積・外積・体積・平面の方程式

【2022慶應義塾大学・商学部】

点 \(O\) を原点とする \(xyz\) 座標空間に,\(2\) 点 \(A ( 2 , 3 , 1 )\) , \(B ( -2 , 1 , 3 )\) をとる.また,\(x\) 座標が正の点 \(C\) を,\(\overrightarrow{OC}\) が \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) に垂直で,\(\left|\overrightarrow{OC}\right|=8\sqrt{3}\) となるように定める.

(1) \(\triangle OAB\) の面積を求めよ.

(2) 点 \(C\) の座標を求めよ.

(3) 四面体 \(OABC\) の体積を求めよ.

(4) 平面 \(ABC\) の方程式を求めよ.

(5) 原点 \(O\) から平面 \(ABC\) に垂線 \(OH\) を下ろしたときの点 \(H\) の座標を求めよ.

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【2021九州大学・理】四面体に内接する球|平面の方程式、点と面の距離の公式の利用

【2021九州大学・理】

座標空間内の \(4\) 点 \(O(0,0,0)\) , \(A(1,0,0)\) , \(B(0,1,0)\) , \(C(0,0,2)\) を考える.以下の問に答えよ.

(1) 四面体 \(OABC\) に内接する球の中心の座標を求めよ.

(2) 中心の \(x\) 座標,\(y\) 座標,\(z\) 座標がすべて正の実数であり,\(xy\) 平面,\(yz\) 平面,\(zx\) 平面のすべてと接する球を考える.この球が平面 \(ABC\) と交わるとき,その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ.

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【裏技公式】aPA+bPB+cPC=0(ベクトル)の点Pの位置と三角形の面積比

【4STEP(数学B)56】

\(\triangle ABC\) と点 \(P\) に対して,等式 \(5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\) が成り立っている.

(1) 点 \(P\) がの位置をいえ.

(2) \(\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB\) を求めよ.

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