【ベクトルまとめ】おさえておきた入試頻出・重要問題

【2021神戸大学(理)】

\(\overrightarrow{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) が垂直であるとする．\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) ( \(0≦\theta≦\pi\) ) とする．以下の問に答えよ．

(１)　\(\left|\overrightarrow{a}\right|=x\) , \(\left|\overrightarrow{b}\right|=y\) とするとき，\(\sin^2 \theta\) を \(x\) , \(y\) を用いて表せ．

(２)　\(\theta\) の最大値を求めよ．

【2021京都大学・文】

\(\triangle 0AB\) において，\(OA=3\) , \(OB=2\) , \(\angle AOB=60°\) とする．\(\triangle OAB\) の垂心 \(H\) とするとき，\(\overrightarrow{OH}\) を \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) を用いて表せ．

【オイラー直線】

任意の三角形の外心を \(O\) , 重心を \(G\) , 垂心を \(H\) とおくとき,

\(3\) 点 \(O\) ,  \(G\) ,  \(H\) は一直線上にある．

また，\(OG:GH=1:2\) を満たす．

【2013京都大学(文理共通)】

平行四辺形 \(ABCD\) において，辺 \(AB\) を \(1 : 1\) に内分する点を \(E\)，辺 \(BC\) を \(2 : 1\) に内分する点を \(F\)，辺 \(CD\) を \(3 : 1\) に内分する点を \(G\) とする．線分 \(CE\) と線分 \(FG\) の交点を \(P\) とし，線分 \(AP\) を延長した直線と辺 \(BC\) の交点を \(Q\) とするとき，比 \(AP : PQ\) を求めよ．

【問題(4STEP数B125)】

四面体 \(OABC\) の辺 \(OA\) の中点を \(M\) , 辺 \(BC\) を \(2 : 1\) に内分する点を \(Q\) , 線分 \(MQ\) の中点を \(R\) とし，直線 \(OR\) と平面 \(ABC\) の交点を \(P\) とする．\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とするとき，\(\overrightarrow{OP}\) を \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{c}\) を用いて表せ．

【2016神戸大学・文理(一部)】

四面体 \(OABC\) において，\(P\) を辺 \(OA\) の中点，\(Q\) を辺 \(OB\) を \(2 : 1\) に内分する点，\(R\) を辺 \(BC\) の中点とする．\(P\) , \(Q\) , \(R\) を通る平面と辺 \(AC\) の交点を \(S\) とする．\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とおく．以下の問に答えよ．

(１)　\(\overrightarrow{PQ}\) , \(\overrightarrow{PR}\) をそれぞれ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) を用いて表せ．

(２)　比 \(\left|\overrightarrow{AS}\right| : \left|\overrightarrow{SC}\right|\) を求めよ．

\(4\) 点 \(O ( 0 , 0 , 0 )\) ,  \(A ( 1 , 2 , 0 )\) ,  \(B ( 3 , 0 , 4 )\) ,  \(C ( 0 , 1 , 1 )\) がある．

四面体 \(OABC\) の体積を求めよ．

【2010神戸大学・文(一部)】

空間内に \(4\) 点 \(O\) , \(A\) , \(B\) , \(C\) があり，

\(OA=3\) , \(OB=OC=4\) , \(\angle BOC=\angle COA=\angle AOB=\displaystyle\frac{\pi}{3}\)

であるとする．\(3\) 点 \(A\) , \(B\) , \(C\) を通る平面に垂線 \(OH\) をおろす．

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}\) , \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}\) とし，

\(\overrightarrow{OH}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\)

と表すとき， \(r\) , \(s\) , \(t\) を求めよ．

【2004京都大学(文)】

\(\triangle OAB\) において，\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) ,\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}\) とする．

\(\left|\overrightarrow{a}\right|=3\) , \(\left|\overrightarrow{b}\right|=5\) , \(\cos\angle AOB=\displaystyle\frac{3}{5}\)

とする．このとき，\(\angle AOB\) の \(2\) 等分線と，\(B\) を中心とする半径 \(\sqrt{10}\) の円との交点の，\(O\) を原点とする位置ベクトルを \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) を用いてあらわせ．

【2007大阪大学】

\(xy\) 平面において，原点 \(O\) を通る半径 \(r\) ( \(r>0\) ) の円を \(C\) とし，その中心を \(A\) とする．\(O\) を除く \(C\) 上の点 \(P\) に対し，次の条件 \((a)\) , \((b)\) で定まる点 \(Q\) を考える．

\((a)\)　\(\overrightarrow{OP}\) と \(\overrightarrow{OQ}\) は向きが同じ．

\((b)\)　\(\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1\)．

以下の問いに答えよ．

(１)　点 \(P\) が \(O\) を除く \(C\) 上を動くとき，点 \(Q\) は \(\overrightarrow{OA}\) に直交する直線上を動くことを示せ．

(２)　(１)の直線を \(l\) とする．\(l\) が \(C\) と \(2\) 点で交わるとき， \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ．

【2009京都大学】

\(xyz\) 平面上の \(2\) 点 \(A(-3,-1,1)\) , \(B(-1,0,0)\) を通る直線 \(l\) に点 \(C(2,3,3)\) から下ろした垂線の足 \(H\) の座標を求めよ．

【2022慶應義塾大学・商学部】

点 \(O\) を原点とする \(xyz\) 座標空間に，\(2\) 点 \(A ( 2 , 3 , 1 )\) , \(B ( -2 , 1 , 3 )\) をとる．また，\(x\) 座標が正の点 \(C\) を，\(\overrightarrow{OC}\) が \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) に垂直で，\(\left|\overrightarrow{OC}\right|=8\sqrt{3}\) となるように定める．

(１)　\(\triangle OAB\) の面積を求めよ．

(２)　点 \(C\) の座標を求めよ．

(３)　四面体 \(OABC\) の体積を求めよ．

(４)　平面 \(ABC\) の方程式を求めよ．

(５)　原点 \(O\) から平面 \(ABC\) に垂線 \(OH\) を下ろしたときの点 \(H\) の座標を求めよ．

【2021九州大学・理】

座標空間内の \(4\) 点 \(O(0,0,0)\) , \(A(1,0,0)\) , \(B(0,1,0)\) , \(C(0,0,2)\) を考える．以下の問に答えよ．

(１)　四面体 \(OABC\) に内接する球の中心の座標を求めよ．

(２)　中心の \(x\) 座標，\(y\) 座標，\(z\) 座標がすべて正の実数であり，\(xy\) 平面，\(yz\) 平面，\(zx\) 平面のすべてと接する球を考える．この球が平面 \(ABC\) と交わるとき，その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ．

【4STEP(数学B)56】

\(\triangle ABC\) と点 \(P\) に対して，等式 \(5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\) が成り立っている．

(１)　点 \(P\) がの位置をいえ．

(２)　\(\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB\) を求めよ．