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2乗の和の公式の証明|Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)

数学(大学入試問題)

自然数 \(n\) に対して

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) ・・・①

が成り立つことを示せ.

解法その1.\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\) の利用

\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\) ・・・② とおく.

②の両辺に \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots , n\) を代入して両辺を加えると,

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{(k+1)^3-k^3\right\}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}\) ・・・③

③の左辺について

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{(k+1)^3-k^3\right\}}\)

\(=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+\cdots+\left\{(n+1)^3-n^3\right\}\)

\(=(n+1)^3-1^3\)

\(=n^3+3n^2+3n\)

③の右辺について

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}\)

\(=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^3}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k+1)}\)

ここで,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k+1)}\) は初項が \(4\) , 末項が \(3n+1\) , 項数が \(n\) の等差数列の和であるから

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}\)

\(=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^3}+\displaystyle\frac{1}{2}n\left\{4+(3n+1)\right\}\)

\(=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^3}+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{5}{2}n\)

したがって,

\(n^3+3n^2+3n=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^3}+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{5}{2}n\)

\(3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^3}=n^3+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{1}{2}n\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\)

よって,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) が成立する.

解法その2.数学的帰納法の利用

( ⅰ ) \(n=1\) のとき

①の (左辺) \(= 1^3 = 1\) , (右辺) \(= \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3 = 1\)

となり成立する.

( ⅱ ) \(n=m\) のとき

①が成り立つと仮定する.つまり

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)\) ・・・② が成り立つ

②の両辺に \((m+1)^2\) を加えると

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)+(m+1)^2\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)\left\{m(2m+1)+6(m+1)\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)(2m^2+7m+6)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)(m+2)(2m+3)\)

となり, \(n=m+1\) のときも成立する.

( ⅰ ),( ⅱ )より,すべての自然数 \(n\) において

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) は成り立つ.

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