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2乗の和の公式の証明|Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)

数列

自然数 \(n\) に対して

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) ・・・①

が成り立つことを示せ.

解法その1.\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\) の利用

\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\) ・・・② とおく.

②の両辺に \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots , n\) を代入して両辺を加えると,

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{(k+1)^3-k^3\right\}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}\) ・・・③

③の左辺について

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{(k+1)^3-k^3\right\}}\)

\(=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+\cdots+\left\{(n+1)^3-n^3\right\}\)

\(=(n+1)^3-1^3\)

\(=n^3+3n^2+3n\)

③の右辺について

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}\)

\(=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k+1)}\)

ここで,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k+1)}\) は初項が \(4\) , 末項が \(3n+1\) , 項数が \(n\) の等差数列の和であるから

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}\)

\(=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\frac{1}{2}n\left\{4+(3n+1)\right\}\)

\(=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{5}{2}n\)

したがって,

\(n^3+3n^2+3n=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{5}{2}n\)

\(3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=n^3+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{1}{2}n\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\)

よって,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) が成立する.

解法その2.数学的帰納法の利用

( ⅰ ) \(n=1\) のとき

①の (左辺) \(= 1^3 = 1\) , (右辺) \(= \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3 = 1\)

となり成立する.

( ⅱ ) \(n=m\) のとき

①が成り立つと仮定する.つまり

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)\) ・・・② が成り立つ

②の両辺に \((m+1)^2\) を加えると

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)+(m+1)^2\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)\left\{m(2m+1)+6(m+1)\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)(2m^2+7m+6)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)(m+2)(2m+3)\)

となり, \(n=m+1\) のときも成立する.

( ⅰ ),( ⅱ )より,すべての自然数 \(n\) において

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) は成り立つ.

コメント

  1. 新潟高校生 より:

    解き方1、”③の右辺について”の1行目から2行目への変形が間違っていると思います。Σk^2がΣk^3となっています。そのまま最後までΣk^3で計算しているで最後の「よって〜〜〜成立する」の論理が理解できない状況になっていると思います。私の知識不足で正しくない指摘となっていたら誠に申し訳ないです。どうぞ修正をよろしくお願いします。

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