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【2022横浜市立大学・データサイエンス】n^5+1が3の倍数となるものの個数(1≦n≦1000)

2022年入試問題

【2022横浜市立大学・データサイエンス】

自然数の集合

\(A=\left\{n^5+1 | n=1,2,\cdots,1000\right\}\)

を考えるときに,この集合 \(A\) の要素であり,かつ \(3\) の倍数となるものの個数を求めなさい.

合同式について

整数問題を扱う上で,合同式は必須アイテムです!

合同式の基本的な使い方については,

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を確認しましょう!

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする
合同式とは?2次試験(数学)の整数の分野で合同式が使えるかどうかは大きな差がつきます。合同式を知らない、初めて習った人のための基本性質のまとめ。
合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習
合同式を使いこなすことで、整数分野の問題(余りに関する問題)を簡略化して処理できる。しかし慣れが必要であるため、基本的な問題を用いて合同式に慣れるための演習問題。 13の100乗を9で割った余り、nの2乗を3で割った余りなど、頻出問題を使って演習。

解答・解説

\(mod 3\) として考える.

( ⅰ ) \(n≡0\) のとき

\(n^5+1≡1\) より

\(n^5+1\) は \(3\) の倍数とならないため不適

( ⅱ ) \(n≡1\) のとき

\(n^5+1≡2\) より

\(n^5+1\) は \(3\) の倍数とならないため不適

( ⅲ ) \(n≡-1\) のとき

\(n^5+1≡0\) より

\(n^5+1\) は \(3\) の倍数となる

したがって,題意を満たす \(n\) は \(3\) で割って \(2\) 余る数なので

\(3\times 0+2\),\(3\times 1+2\),\(\cdots\),\(3\times 332+2\) の \(333\) 個

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