【2022横浜市立大学・データサイエンス】
自然数の集合
\(A=\left\{n^5+1 | n=1,2,\cdots,1000\right\}\)
を考えるときに，この集合 \(A\) の要素であり，かつ \(3\) の倍数となるものの個数を求めなさい．
合同式について
整数問題を扱う上で，合同式は必須アイテムです！
合同式の基本的な使い方については，
を確認しましょう！
合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする
合同式とは？２次試験（数学）の整数の分野で合同式が使えるかどうかは大きな差がつきます。合同式を知らない、初めて習った人のための基本性質のまとめ。
mathmathmanabu.com
2021.07.15
合同式（基本編）基本的な問題で合同式を使う練習
合同式を使いこなすことで、整数分野の問題（余りに関する問題）を簡略化して処理できる。しかし慣れが必要であるため、基本的な問題を用いて合同式に慣れるための演習問題。
13の100乗を9で割った余り、nの2乗を3で割った余りなど、頻出問題を使って演習。
mathmathmanabu.com
2021.07.17
解答・解説
\(mod 3\) として考える．
( ⅰ ) \(n≡0\) のとき
\(n^5+1≡1\) より
\(n^5+1\) は \(3\) の倍数とならないため不適
( ⅱ ) \(n≡1\) のとき
\(n^5+1≡2\) より
\(n^5+1\) は \(3\) の倍数とならないため不適
( ⅲ ) \(n≡-1\) のとき
\(n^5+1≡0\) より
\(n^5+1\) は \(3\) の倍数となる
したがって，題意を満たす \(n\) は \(3\) で割って \(2\) 余る数なので
\(3\times 0+2\)，\(3\times 1+2\)，\(\cdots\)，\(3\times 332+2\) の \(333\) 個
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