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【整数問題まとめ】”素数”に関する頻出・良問まとめ

数学(大学入試問題)

整数問題の中でも,『素数』に関する問題は頻出で良問が多く,整数問題の受験対策を行う上で避けては通れないジャンルになります。

大学受験では頻出であるにもかかわらず,学校の授業ではほとんど扱われることがありません。正しい考え方,解法を学び,整数分野を得点源にしていきましょう!

下記では主にここ数年の入試問題から,素数の性質を利用して解く整数問題を集めました。

素数に特化したまとめページになりますので,偏りはありますが,素数に関する問題に慣れるために演習としてご利用ください!

素数に関する大学入試問題

2018京都大学(文理共通)

【2018京都大学(文理共通)】

\(n^3-7n+9\) が素数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ.

考え方・解答は「こちら

類題(2021明治大学)

【2021明治大学・農】

数列 \({ a_{n} }\) を \(a_{n}=n^3-19n+33\) と定める.ただし,\(n\) は正の整数とする.

このとき,\(a_{n}\) が素数となる \(n\) をすべて求めよ.

考え方・解答は「こちら

2019京都大学・理(3次関数と素数)

【2019京都大学・理】

\(f(x)=x^3+2x^2+2\) とする.

\(| f(n) |\) と \(| f(n+1) |\) がともに素数となる整数 \(n\) をすべて求めよ.

考え方・解答は「こちら

2016京都大学

【2016京都大学】

素数 \(p , q\) を用いて \(p^q+q^p\) と表される素数をすべて求めよ.

考え方・解答は「こちら

1990京都大学(三角比と素数)

【1990京都大学・第2問・文理共通】

三角形 \(ABC\) において、\(\angle{B}=60°\)、\(B\) の対辺の長さ \(b\) は整数、他の \(2\) 辺の長さ \(a\)、\(c\) はいずれも素数である.このとき三角形 \(ABC\) は正三角形であることを示せ.

考え方・解答は「こちら

2021京都大学・文

【2021京都大学・文】

      \(p\) が素数ならば  \(p^{4}+14\)  は素数でないことを示せ.

考え方・解答は「こちら

2021 東京学芸大学

【2021 東京学芸大学・第1問】

\(n+1\)、\(n^2+2\)、\(n^3+3\)、・・・、\(n^k+k\) がすべて素数となるような自然数 \(n\)、\(k\) が存在するとき、\(k\) の最大値を求めよ.

考え方・解答は「こちら

2021お茶の水女子大学

【2021 お茶の水女子大学 第1問 整数・素数】

次の問いに答えよ.

(1) \(k^2+2\) が素数となるような素 \(k\) をすべて見つけよ.また、それ以外にないことを示せ.

(2) 整数 \(l\) が \(5\) で割り切れないとき、 \(l^4-1\) が \(5\) で割り切れることを示せ.

(3) \(m^4+4\) が素数となるような素数 \(m\) は存在しないことを示せ.

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2021自治医科大学

【2021 自治医科大学・医[第3問]】

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする.

\(n\) と \(n^2-2n+3\) がどちらも素数となるときのすべての \(n\) の和を \(S\) とする.

\(\displaystyle\frac{S}{2}\) の値を求めよ.

考え方・解答は「こちら

2019早稲田大学

【2019早稲田大学・先進理工】(一部のみ)

自然数 \(n\) について次のような命題を考える.

(※) \(n^2+1\)、\(2n^2+3\)、\(6n^2+5\) がすべて素数である

(※)を満たすような \(n\) は \(n=1 , 2 \) のみであることを示せ.

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2006京都大学

【2006京都大学・第4問(理)】

2以上の自然数 \(n\) に対し、\(n\) と \(n^2+2\) がともに素数になるのは \(n=3\) の場合に限ることを示せ.

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類題(2004弘前大学・理)

【2004弘前大学・理(一部)】

\(3\) より大きな素数 \(p\) に対して、\(p^2\) を \(12\) で割った余りを求めよ.

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類題(2021奈良女子大学)

【2021奈良女子大学】

\(p^2-1=24q\) を満たす素数 \(p\) と素数 \(q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.

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類題(2021奈良県立医科大学)

【奈良県立医科大学】

\(a\) を \(2\) 以上の整数、 \(p\) を \(2\) よち大きい素数とする.

ある正整数 \(k\) に対して等式

$$a^{p-1}-1=p^k$$

が成り立つのは、\(a=2\)、\(p=3\) の場合に限ることを示せ.

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2021九州大学・理

【2021九州大学・理・第5問】

(1) 自然数 \(n\)、\(k\) が \(2≦k≦n-2\) をみたすとき、

\(_{n}C_{k}>n\) であることを示せ.

(2) \(p\) を素数とする.\(k≦n\) をみたす自然数の組 \((n,k)\) で

\(_{n}C_{k}=p\) となるものをすべて求めよ.

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2021京都大学・理

【2021京都大学・理】

\(n\) を2以上の整数とする.\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.

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 2021早稲田大学 ( \(n\) 進法 )

【2021早稲田大学】

\(n\) 進法で \(2021_{(n)}\) と表される数が、素数であるような \(n\) の最小値を十進法で表すと [ ア ] となり、合成数である ( 素数ではない ) ような \(n\) の最小値を十進法で表すと [ イ ] となる.

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フェルマーの小定理

フェルマーの小定理を証明せよ.

\(p\) が素数で、\(a\) が \(p\) の倍数でない正の整数のとき

\(a^{p-1} ≡ 1\)    \(( mod p )\)

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その他

\(p\)、\(q\) は素数で、\(p<q\) とする.

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{r}\) を満たす整数 \(r\) は存在しないことを示せ.

考え方・解答は「こちら

志望校合格に少しでもお役立てできたら幸いです。

【整数問題まとめ】"証明"に関する頻出・有名問題まとめ
整数問題において「証明」の頻出・有名テーマ。倍数証明、ユークリッドの互除法、合同式(mod)、数学的帰納法、フェルマーの小定理、無限下降法、鳩の巣原理などなど、様々な場面で登場。学校の授業ではあまり扱わないが入試頻出。2次試験対策にお役立てください。数学A:整数

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