スポンサーリンク

【最重要】軸・範囲が動く2次関数の最大値・最小値の場合分け

数学(大学入試問題)

2次関数は、高校数学の内容において最も重要な分野の1つです。

そして、高校数学が出来る出来ないの分岐点になるのも2次関数。

その中でも特に、最大値・最小値の場合分けの問題は差がつき始める問題の1つ。

そこでしっかりと場合分けのパターンに慣れ、最初の関門を突破しましょう!

ここでは、「軸が動くタイプ」「範囲の両端が動くタイプ」についてのパターン化です。

 

まず初めに、

2次関数の最大値・最小値の問題

👉 ① 凸方向の確認

👉 ② 軸と範囲の位置関係

の2点を確認しましょう!

その前提として、具体的な問題で練習しましょう!

軸が動く2次関数の最大値・最小値の問題

軸が動く2次関数

👉 軸と範囲の位置関係で場合分け

「場合分け」と聞くと難しく感じるけど、完全パターンだよ!

パターンを覚えてあとは機械的に当てはめればOK!!

☆下に凸の2次関数の最小値について

(Ⅰ) 軸 ≦ (範囲の左) のとき

\(x=\)(範囲の左)で最小値をとる

(Ⅱ) (範囲の左) ≦ 軸 ≦ (範囲の右) のとき

\(x=\) 軸で最小値をとる

(Ⅲ) (範囲の右) ≦ 軸 のとき

\(x=\)(範囲の右)で最小値をとる

上に凸の2次関数の最大値も同様の場合分け

 

練習問題

\(a\) は定数とする.

関数\(y=x^2-2ax+a^2+1\) \((0≦x≦2)\) の最小値を求めよ.

【解答】

\(y=x^2-2ax+a^2+1\)を平方完成すると

\(y=(x-a)^2+1\)より

軸は\(x=a\)

軸は\(x=a\),(範囲の左)=0,(範囲の右)=2 を上のパターンに当てはめると

(Ⅰ)  \(a≦0\) のとき

\(x=0\) で

最小値:\( a^2+1\)

👆 \(y=x^2-2ax+a^2+1\) に代入

 

(Ⅱ)  \(0≦a≦2\) のとき

\(x=a\) で

最小値:1

 

(Ⅲ) \(2≦a\) のとき

\(x=2\) で

最小値:\(a^2-4a+5\)

☆下に凸の2次関数の「最大値」について

下に凸の最大値

👉範囲の真中に注目!

(Ⅰ) 軸 < (範囲の真中) のとき

\(x=\)(範囲の右)で最大値をとる

(Ⅱ) 軸 = (範囲の真中) のとき

\(x= \)(範囲の左),(範囲の右)で最大値をとる

(Ⅲ) (範囲の真中) < 軸 のとき

\(x=\)(範囲の左)で最大値をとる

上に凸の2次関数の最小値も同様の場合分け


練習問題

\(a\) は定数とする.

関数\(y=x^2-2ax+a^2+1\) \((0≦x≦2)\) の最大値を求めよ.

【解答】

\(y=x^2-2ax+a^2+1\) を平方完成すると

\(y=(x-a)^2+1\) より

軸は\(x=a\)

軸は\(x=a\),(範囲の真中)=1 を上のパターンに当てはめると

 

(Ⅰ) \(a<1\) のとき

\(x=2\) で

最大値:\(a^2-4a+5\)

 

(Ⅱ) \(a=1\) のとき

\(x=0 , 2 \) で

最大値:2

※\(x=0 \) を代入すると\( a^2+1\),

\(x=2 \) を代入すると\(y=a^2-4a+5\)

一見異なるように見えるが,\(a=1\) のときと言う具体的な \(a\) の値が分かっているため、代入するとともに 2 になることが分かる.

 

(Ⅲ) \(1<a\) のとき

\(x=0\)で

最大値:\( a^2+1\)

範囲の両端が動く2次関数の最大値・最小値の問題

「軸が動く2次関数のMax・minの問題」と全く同じ場合分け

例題(最小値)

\(a\) は定数とする.

関数\(y=x^2-2x\) \((a≦x≦a+2)\) の最小値を求めよ.

【解答】

\(y=x^2-2x\)を平方完成すると

\(y=(x-1)^2-1\)より

軸は\(x=1\)

軸は\(x=1\),(範囲の左)=\(a\),(範囲の右)=\(a+2\) を順に当てはめると

(Ⅰ) \(1≦a\) のとき

\(x=a\) で最小値:\( a^2-2a\)

(Ⅱ) \(a ≦ 1 ≦ a+2\) のとき

つまり \(-1 ≦ a ≦ 1\) のとき

\(x=1\) で最小値:-1

(Ⅲ) \(a+2≦1\) のとき

つまり \(a ≦-1\) のとき

\(x=a+2\) で最小値:\(a^2+2a\)

例題(最大値)

\(a\) は定数とする.

関数\(y=x^2-2x\) \((a≦x≦a+2)\) の最大値を求めよ.

【解答】

\(y=x^2-2x\)を平方完成すると

\(y=(x-1)^2-1\)より

軸は\(x=1\)

軸は\(x=1\),(範囲の真中)=\(a+1\) を順に当てはめると

 

(Ⅰ) \(1<a+1\)  のとき

つまり \(0<a\)  のとき

\(x=a+2\) で最大値:\(a^2+2a\)

(Ⅱ) \(1=a+1\) のとき

つまり \(a=0\) のとき

\(x=a , a+2 \)

つまり \(x= 0 , 2 \) で最大値:0

(Ⅲ) \(a+1<1\) のとき

つまり \(a<0\) のとき

\(x=a\) で最大値:\( a^2-2a\)

 

2次関数の最大値・最小値の場合分けの問題は、定期考査から大学受験まで頻出テーマです.

しっかりとパターン化し、早く・正確に処理できるように練習を!

【頻出】2次関数の解の配置(分離):1より大きい異なる2つの解、異符号の解など2パターン完全マスター
2次関数で絶対におさえたい2テーマのうちの1つ。ただ解を持つだけでなく「ある範囲に解をもつ」タイプの問題(解の配置)を完全マスター。 例:正の異なる2つの実数解。1より大きい異なる2つの解。異符号の解など。定期テストや入試では頻出テーマになります。解法2パターン。
【一橋大学・過去問】不等式の成立条件(2次不等式)
すべての実数に対して成り立つ2次不等式についての考え方。 また、範囲が与えられた時の2次不等式の考え方について、一橋大学の過去問を用いて解説。

コメント

タイトルとURLをコピーしました