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【整数問題まとめ】”証明”に関する頻出・有名問題まとめ

整数問題

整数問題の受験対策を行う上で避けては通れないジャンルになります。

大学受験では頻出であるにもかかわらず,学校の授業ではほとんど扱われることがありません。正しい考え方,解法を学び,整数分野を得点源にしていきましょう!

下記では実際に出題された入試問題を中心に,証明・論証の整数問題を集めました。

一部難しい問題もありますが,これらの問題を背景にした問題や,有名問題になりますので,しっかりと経験値を積み,志望校合格に向けて取り組みましょう!

京都大学【倍数証明・合同式】

【2001京都大学・第3問(文)】

任意の整数 \(n\) に対し、 \(n^9-n^3\) は \(9\) で割り切れることを示せ.

考え方・解答は「こちら

神戸大学【二項定理・数学的帰納法・合同式】

【2003神戸大学・後期(改)】

数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) は、条件 \(a_{1}=7\)、\(a_{n+1}=(a_{n})^6\) \(( n=1,2,3,\cdots )\)

によって定められるとする.\(n\) を自然数とするとき、\(a_{n}\) を \(6^n\) で割ったときの余りが \(1\) になることを示せ.

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一橋大学【必要 ⇒ 十分】

【1997一橋大学】

すべての正の整数 \(n\) に対して \(5^n+an+b\) が \(16\) の倍数となるような \(16\) 以下の正の整数 \(a\)、\(b\) を求めよ.

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「ax+by=1が整数解をもつ」\(\iff\) 「a,bが互いに素」

\(a , b\) は \(0\) でない整数とする.

「\(ax+by=1\)が整数解をもつ」・・・①

「\(a , b\) が互いに素」・・・②

①と②が必要十分条件であることを証明せよ.

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奈良県立医科大学【ユークリッド互除法】

【2021奈良県立医科大学・後期】

正整数 \(a\)、\(b\) の最大公約数を \(( a , b )\) で表す.

(1) 任意の正整数 \(m\)、\(n\) に対して、等式

\(( m+n , n ) = ( m , n )\) が成り立つことを証明せよ.

(2) 互いに素な正整数 \(m\)、\(n\) に対して、\((m+n-1)!\) は \(m!n!\) によって割り切れることを証明せよ.

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明治大学【ユークリッド互除法・互いに素】

【2022明治大学・情報コミュニケーション[Ⅳ]】

\(n\)、\(p\) はともに \(2\) より大きな自然数である.また、\(p\) は素数である.このとき、次の問に答えよ.

(1) \(2n+1\) が \(p\) で割り切れるとき、\(n\) は \(p\) で割り切れないことを示せ.

(2) \(n\) と \(2n+1\) は互いに素であることを示せ.

(3) \(n^3+8n\) が \(2n+1\) で割り切れるときの \(n\) の値をすべて求めよ.

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神戸大学【有理数解をもつ ⇒ 整数解】

【2001神戸大学・理(一部改)】

次の問に答えよ.

(1) \(a\)、\(b\)、\(c\) を整数とする.\(x\) に関する \(3\) 次方程式

\(x^3+ax^2+bx+c=0\)

が有理数の解をもつならば、その解は整数であることを示せ.

(2) 方程式 \(x^3+2x^2+2=0\) は、有理数の解をもたないことを示せ.

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お茶の水女子大学【無限下降法】

【1985お茶の水女子大学】

\(a\),\(b\),\(c\) は整数で,\(a^3+2b^3+4c^3=2abc\) とする.

(1) \(a\),\(b\),\(c\) はいずれも偶数であることを示せ.

(2) \(a=b=c=0\) であることを示せ.

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すべての整数nに対しf(n)が整数となる条件

\(2\) 次関数 \(f(x)=ax^2+bx\) がある.ある整数 \(k\) に対して、\(f(k-1)\)、\(f(k)\)、\(f(k+1)\) が整数となるとき、次に答えよ.

(1) \(2a\)、\(2b\)、\(a+b\) は整数であることを示せ.

(2) すべての正の整数 \(n\) に対して \(f(n)\) は整数であることを示せ.

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フェルマーの小定理

\(p\) が素数で、\(a\) が \(p\) の倍数でない正の整数のとき

\(a^{p-1} ≡ 1\)    \(( mod p )\)

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鳩の巣原理(部屋割り論法)

【問題①】

366 人の中には、誕生日が同じ 2 人が少なくとも 1 組以上存在することを証明せよ.

※うるう年は考えないものとする.

【問題②】

「 1 , 2 , 3 , ・・・ , 100 から 51 個の異なる自然数を選ぶと、互いに素な数が必ず存在する 」

ことを証明せよ.

【問題③】

「空間内に与えられた \(n\) 個の格子点の間を結ぶ線分を考える.このとき、これらの線分の中点の少なくとも 1 つは格子点である」

\(n\) として、どんな自然数を考えれば、上の命題は常に正しいか.適当な \(n\) を 1 つあげ、その理由を説明せよ.

ただし、格子点とは、\(x , y , z\) がすべて整数であるような点 \(( x , y , z )\) のことである.

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【整数問題まとめ】”素数”に関する頻出・良問まとめ
整数問題において「素数」は頻出・重要テーマ。素数は積に弱い、6m±1の形、合同式(mod)との相性、背理法、フェルマーの小定理などなど、様々な場面で登場。学校の授業ではあまり扱わないが入試頻出。演習として素数に特化した演習問題のまとめページ。2次試験対策にお役立てください。数学A:整数

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