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【京都大学・整数問題】良問・頻出過去問の考え方・解答まとめ

数学(大学入試問題)

京都大学ではほぼほぼ毎年『整数問題』が出題されます。そして同時に、差がつく分野になります。

ただ解答をなぞった学習ではなく、正しい考え方を身につけ、整数問題を得意分野にしていきましょう!

2022京都大学・第3問(理)

\(n\) を自然数とする.

\(3\) つの整数 \(n^2+2\)、\(n^4+2\)、\(n^6+2\) の最大公約数 \(A_{n}\) を求めよ.

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2021京都大学・第6問(理)

\(n\) を2以上の整数とする.\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.

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2021京都大学・第4問(文)

 \(p\) が素数ならば  \(p^{4}+14\)  は素数でないことを示せ.

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2020京都大学・第3問(文)

\(a\) を奇数とし,整数 \(m\) ,\(n\) に対して,

\(f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8\)

とおく.\(f(m,n)\) が \(16\) で割り切れるような整数 \(( m , n )\) が存在するための \(a\) の条件を求めよ.

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2019京都大学・第2問(理)

\(f(x)=x^3+2x^2+2\) とする.

\(| f(n) |\) と \(| f(n+1) |\) がともに素数となる整数 \(n\) をすべて求めよ.

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2018京都大学・第2問(理),第3問(文)

\(n^3-7n+9\) が素数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ.

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2016京都大学・第2問(理)

素数 \(p , q\) を用いて \(p^q+q^p\) と表される素数をすべて求めよ.

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2009京都大学・第5問(文)

\(p\) を素数,\(n\) を正の整数とするとき,\((p^n)!\) は \(p\) で何回割り切れるか.

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2007京都大学・第5問(文)

\(n\) を \(1\) 以上の整数とするとき,次の \(2\) つの命題はそれぞれ正しいか.正しいときは証明し,正しくないときはその理由を述べよ.

命題 \(p\):ある \(n\) に対して,\(\sqrt{n}\) と \(\sqrt{n+1}\) は共に有理数である.

命題 \(q\):すべての \(n\) に対して,\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は無理数である.

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2006京都大学・第4問(理)

2以上の自然数 \(n\) に対し、\(n\) と \(n^2+2\) がともに素数になるのは \(n=3\) の場合に限ることを示せ.

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2005京都大学・第4問・文理共通

\(a^3-b^3=65\) を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.

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2001京都大学・第3問(文)

任意の整数 \(n\) に対し、 \(n^9-n^3\) は \(9\) で割り切れることを示せ.

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1990京都大学・第2問・文理共通

三角形 \(ABC\) において、\(\angle{B}=60°\)、\(B\) の対辺の長さ \(b\) は整数、他の \(2\) 辺の長さ \(a\)、\(c\) はいずれも素数である.このとき三角形 \(ABC\) は正三角形であることを示せ.

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