スポンサーリンク

【数学Ⅱ微分・積分まとめ】絶対におさえておきたい頻出・重要問題まとめ!

分野まとめ

大学共通テスト,2次試験において,微分・積分はどこの大学でもほぼほぼ出題される頻出分野の問題です!

また,様々なデータでも出ていますが,微分積分の問題は多くの受験生にとって得点源となる分野であり,この分野で点数を落とすのは非常に痛手となってしまいます・・・。

そこで,微分・積分(数学Ⅱの範囲)において,頻出・重要問題をまとめました。

以下に示す問題はいずれも,共通テスト,2次試験においても頻出です!

絶対に落としてはいけない問題をまとめましたので,しっかりと演習しましょう!

①微分係数・導関数(微分)の定義・公式と演習問題

以下の問に答えよ.

(1) 京都薬科大学

微分係数 \(f^{\prime} (5)\) の定義に基づいて,

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} \displaystyle\frac{5f(x)-xf(5)}{x-5}\) を \(f(5)\) , \(f^{\prime}(5)\) を用いて表せ.

(2) 防衛大学

関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能なとき,\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(a+h)-f(a-2h)}{h}\) を\(f^{\prime} (a)\) を用いて表せ.

解答・解説は「【数学 Ⅱ 微分】微分係数・導関数の定義,公式と演習問題

②共通接線 2タイプの解法

【問題1】

曲線 \(y=x^3+x^2+ax\) と放物線 \(y=x^2-2\) は、ともにある点 \(P\) を通り、\(P\) において共通の接線をもつ.このとき、定数 \(a\) の値を求めよ.

【問題2】

2 つの曲線 \(y=x^2\) 、\(y=-x^2+4x-4\) の共通接線の方程式を求めよ.

解答・解説は「【数学Ⅱ・微分】共通接線2タイプの解法まとめ

また演習問題としては⏬

【2021東北大学・文】共通接線と放物線で囲まれた図形の面積|頻出・重要問題
3次関数と2次関数の共通接線の求め方。2通りの解答を紹介。また、共通接線と2次関数で囲まれた面積。固まりとしての積分、共通テスト(センター試験)や私立受験のマーク形式テストで使える裏技面積公式。

③3次関数のグラフの対称性

\(3\) 次関数 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) は \(P\) \(\left(-\displaystyle\frac{b}{3a} , f \left(-\displaystyle\frac{b}{3a}\right)\right)\) に関し点対称なグラフになることを示せ.

解答・解説は「3次関数の対称性の証明|変曲点に関して対称なグラフ

④極値の和と差

\(f(x)=2x^3-9x^2+6x\)

の極大値を \(M\) ,極小値を \(m\) とするとき,以下の値を求めよ.

① \(M+m\)

② \(M-m\)

解答・解説は「3次関数|極値の和・差【数学Ⅱ微分・積分】

⑤極値の存在について

【2020大阪市立大学・文系(一部)】

\(a\) , \(b\) を実数とする.\(3\) 次関数 \(f(x)=x^3+3ax^2+3bx\) に対して,次の問に答えよ.

問1.\(f(x)\) が極大値と極小値をもつための \(a\) , \(b\) の条件を求めよ.

問2.問1の条件が成り立つとする.このとき,\(f(x)\) の極大値の絶対値と極小値の絶対値が等しくなるための \(a\) , \(b\) の条件を求めよ.

解答・解説は「【数学 Ⅱ 微分】極値の存在条件と極値の和|2020大阪市立大学(文系)

⑥\(x=a\) で極値をもつ3次関数f(x)の決定|逆(十分条件)の確認

【2020東京電機大・理工】

\(3\) 次関数 \(f(x)\) は \(x=-1\) で極大値 \(7\) をとり,\(x=3\) で極小値 \(-25\) をとる.

\(f(x)\) を求めよ.

解答・解説は「【2020東京電機大・理工】x=-1で極大値7、x=3で極小値-25となる3次関数f(x)の決定|逆(十分条件)の確認

⑦定数分離・点Aを通る接線の本数

【2021名城大学】

関数 \(f(x)=x^3-3x^2+4\) を考える.\(xy\) 平面上に曲線 \(C\) : \(y=f(x)\) について,次の問に答えよ.

(1) \(C\) 上の点 \(P (p,p^3-3p^2+4)\) における接線 \(l\) の方程式を \(p\) を用いて表せ.

(2) 点 \(A(0,a)\) ( ただし,\(a\) は実数 ) を通る \(C\) の接線の本数を求めよ.

解答・解説は「【頻出・微分(数Ⅱ)】定数分離型・外部の点から3次関数のグラフに接線が何本引けるか?

⑧非定数分離(3次方程式が異なる3実解をもつ)

【2019早稲田大学・教育】

放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((a,a^2)\) における接線と曲線 \(y=x^3-ax\) が異なる \(3\) 点で交わるとき,\(a\) のとりうる値の範囲を求めよ.

解答・解説は「【2019早稲田大学・教育】非定数分離型・異なる3つの実数解を持つ条件

⑨球に内接する四面体の体積の最大値

【2019京都大学(文理共通)第5問】

半径 \(1\) の球面上の \(5\) 点 \(B_{1}\),\(B_{2}\),\(B_{3}\),\(B_{4}\) は,正方形 \(B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}\) を底面とする四角錐をなしている.この \(5\) 点が球面上を動くとき,四角錐 \(AB_{1}B_{2}B_{3}B_{4}\) の体積の最大値を求めよ.

解答・解説は「【2019京都大学】半径1の球面上の5点の四角錐の体積の最大|微分

⑩最小値と不等式の証明

正の実数 \(x , y , z\) において \(x^3+y^3+z^3≧3xyz\) を示せ.

解答・解説は「【数学Ⅱ】不等式の証明(まとめ)解法5つ

⑪定積分を含む関数

【2021北海道情報大学】

\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=4x^3-3x^2+x-\displaystyle\int^{1}_{0}f(t) \enspace dt\)

を満たす関数 \(f(x)\) を考える.ただし \(a\) は実数の定数である.

(1) 関数 \(f(x)\) を求めよ.

(2) 定数 \(a\) の値を求めよ.

解答・解説は「【数Ⅱ積分】定積分を含む関数について|公式まとめ・演習例題(2021北海道情報大)

⑫放物線と直線が囲む図形の面積(1/6公式)の最小値

【2022大阪大学・文】

以下の問いに答えよ.

(1) 実数 \(\alpha\),\(\beta\) に対し

\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx=\displaystyle\frac{(\alpha-\beta)^3}{6}\)

が成り立つことを示せ.

(2) \(a\),\(b\) を \(b>a^2\) を満たす定数とし,座標平面上に点 \(A\) \((a,b)\) をとる.さらに,点 \(A\) を通り,傾きが \(k\) の直線を \(l\) とし,直線 \(l\) と放物線 \(y=x^2\) で囲まれた部分の面積を \(S(k)\) とする.\(k\) が実数全体を動くとき,\(S(k)\) の最小値を求めよ.

解答・解説は「【2022大阪大学・文】放物線と直線が囲む図形の面積の最小値(数Ⅱ:微分積分)

⑬放物線と2接線で囲まれた図形の面積(1/12公式)

【2022京都大学・文】

\(xy\) 平面上の \(2\) 直線 \(L_{1}\) , \(L_{2}\) は直交し,交点の \(x\) 座標は \(\displaystyle\frac{3}{2}\) である.また,\(L_{1}\) , \(L_{2}\) はともに曲線 \(C\) : \(y=\displaystyle\frac{x^2}{4}\) に接している.

このとき, \(L_{1}\) , \(L_{2}\) および \(C\) で囲まれる図形の面積を求めよ.

解答・解説は「【頻出|2022京都大学・文】放物線と直交する2接線で囲まれた図形の面積

⑭3次関数と接線で囲まれた図形の面積(1/12公式)

曲線 \(y=x^3-4x\) と,その曲線上の点 \(( 1 , -3 )\) における接線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ.

解答・解説は「【頻出・有名公式】3次関数と接線で囲まれた図形の面積(1/12公式)

⑮4次関数と二重接線で囲まれた図形の面積(1/30公式)

【2022慶應義塾大学】

\(xy\) 平面上の曲線 \(C\) を \(y=x^2(x-1)(x+2)\) とする.

(1) \(C\) に \(2\) 点で下から接する直線 \(L\) の方程式を求めよ.

(2) \(C\) と \(L\) が囲む図の斜線部分の面積を求めよ.

解答・解説は「【2022慶應義塾大学】4次関数と二重接線(複接線)で囲まれた図形の面積

⑯絶対値を含む定積分

【2021大阪府立大学】

\(a\) を正の実数とする.関数 \(S(a)=\displaystyle\int^{2}_{0}| x^2-ax |\enspace dx\) について,以下の問に答えよ.

(1) \(x\) の関数 \(y=| x^2-ax |\) のグラフの概形をかけ.

(2) \(S(a)\) を \(a\) を用いて表せ.

(3)  \(a\) がすべての正の実数を動くとき,\(S(a)\) の最小値を求めよ.

解答・解説は「【2021大阪府立大学】絶対値を含む定積分(数学Ⅱ)の演習問題

⑰\(2\) 曲線のグラフで囲まれた \(2\) つの部分の面積が等しい条件

【2018一橋大学】

\(a\) を実数とし,\(f(x)=x-x^3\) , \(g(x)=a(x-x^2)\) とする.\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\) , \(y=g(x)\) は \(0<x<1\) の範囲に共有点を持つ.

(1) \(a\) のとりうる値の範囲を求めよ.

(2) \(y=f(x)\) と \(y=g(x)\) で囲まれた \(2\) つの部分の面積が等しくなるような \(a\) の値を求めよ.

解答・解説は「【2018一橋大学】2次関数と3次関数のグラフで囲まれた2つの部分の面積が等しい条件

コメント

タイトルとURLをコピーしました