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x→∞のときlogx/xの極限についての証明

極限

【頻出・有名|極限の問題】

(1) \(x>1\) のとき,\(\log x<\sqrt{x}\) が成り立つことを示せ.

(2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{x}}{x}\) を求めよ.

解答・解説

(1) \(x>1\) のとき,\(\log x<\sqrt{x}\) の証明

\(f(x)=\sqrt{x}-\log x\) とおく.

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}-\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{\sqrt{x}-2}{2x}\)

\(f^{\prime}(x)=0\) のとき,\(x=4\)

\(x\) \(1\) \(4\)
\(f^{\prime}(x)\) \(0\)
\(f(x)\) ↘️ ↗️

\(f(4)=\sqrt{4}-\log 4=2(1-\log 2)\)

\(e>2\) より,\(\log e=1>\log 2\) であるから,\(f(x)>0\)

したがって,\(x>1\) のとき \(\log x<\sqrt{x}\)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log x}{x}\)

\(x>1\) のとき,\(\log x>0\) であり,また(1)の結果から

\(0<\log x<\sqrt{x}\)

各辺を \(x\) ( \(>0\) ) で割ると

\(0<\displaystyle\frac{\log x}{x}<\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}=0\) より

はさみうちの原理から

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{x}}{x}=0\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{x}}{x}=0\)

については結果だけでなく,

\(x>1\) のとき \(0<\log x<\sqrt{x}\)

の不等式評価から証明(はさみうちの原理の利用)できるように覚えておきましょう!

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