【2024東京大学・文科・第２問】指数・対数｜5^m+4^m>10^19となる最小の自然数

解答・解説

(１)　\(5^n>10^{19}\) となる最小の自然数 \(n\)

常用対数をとると

\(\log_{10}{5^n}>\log_{10}{10^{19}}\)

\(n\log_{10}{5 }>19\)

ここで，\(\log_{10}{5}=\log_{10}{10}-\log_{10}{2}=1-\log_{10}{2}\) より

\(n(1-\log_{10}{2})>19\)

\(n>\displaystyle\frac{19}{1-\log_{10}{2}}\)

\(0.3<\log_{10}{2}<0.31\) であることを用いると，

\(27.1\cdots<\displaystyle\frac{19}{1-\log_{10}{2}}<27.5\cdots \) であり，

数列 \(\left\{5^n\right\}\) は単調増加であるから

\(5^n>10^{19}\) となる最小の自然数 \(n\) は，\(n=28\)

(２)　\(5^m+4^m>10^{19}\) となる最小の自然数 \(m\)

数列 \(\left\{5^m+4^m\right\}\) は単調増加・・・①

(１)の結果から \(m=28\) のとき

\(5^{28}+4^{28}>5^{28}>10^{19}\) ・・・②

であるから，\(m=27\) のときについて考える．

\(\log_{10}{4^{27}}=54\log_{10}{2}\) より

\(16.2<\log_{10}{4^{27}}<16.74\) なので

\(4^{27}<10^{17}\) ・・・③

また，\(\log_{10}{5^{27}}=27(1-\log_{10}{2})\) より

\(18.63<\log_{10}{5^{27}}<18.9\)

ここで，

\(18.9=18+3\times 0.3<18+3\log_{10}{2}=\log_{10}{8\times 10^{18}}\)

よって，\(\log_{10}{5^{27}}<\log_{10}{8\times 10^{18}}\)

つまり，\(5^{27}<8\times 10^{18}\) ・・・④

③，④より

\(5^{27}+4^{27}<8\times 10^{18}+10^{17}=81\times 10^{17}<10^{19}\)

よって，\(5^{27}+4^{27}<10^{19}\) ・・・⑤

①，②，⑤より

\(5^m+4^m>10^{19}\) となる最小の自然数 \(m\) は \(m=28\)