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6^(n+2)+7^(2n+1)は43で割り切れる|帰納法,合同式を利用した解法2パターン

数学(大学入試問題)

【2019久留米大学・医】

一般項が \(a_{n}=6^{n+2}+7^{2n+1}\) ( \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) ) で表される数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) を考える.すべての自然数 \(n\) に対して,\({ a_{n} }\) が \(43\) で割り切れることを証明せよ.

数学Bの教科書例題に載っているような,数学的帰納法を用いる有名問題です。

ここでは数学的帰納法を利用した模範解答と,合同式を利用した別解を紹介します。

合同式を使いこなせると解答時間が大幅に短縮できます!合同式は整数問題において必須アイテムになりますので,しっかりと使いこなせるように演習を!

解法①数学的帰納法の利用

数学的帰納法

\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\)(自然数) に対しての証明

⇒ 数学的帰納法を利用

(ⅰ) \(n = 1\) のとき命題が成立することを示す

(ⅱ) \(n = k\) のとき命題が成立すると仮定し、\(n=k+1\) のとき命題が成立することを示す

解答

\(a_{n}=6^{n+2}+7^{2n+1}\) が \(43\) の倍数 ・・・①

①を数学的帰納法を用いて証明する.

( ⅰ ) \(n=1\) のとき

\(a_{1}=6^3+7^3=559=43\times 13\) より①は成立する

( ⅱ ) \(n=k\) のとき①が成立すると仮定

つまり,整数 \(k\) を用いて

\(a_{k}=6^{k+2}+7^{2k+1}=43k\) ・・・② と表せる

このとき,

\(a_{k+1}=6^{k+3}+7^{2k+3}=6^{k+3}+7^2\cdot 7^{2k+1}\)

②より \(7^{2k+1}=43k-6^{k+2}\) より

\(a_{k+1}=6^{k+3}+7^2(43k-6^{k+2})\)

\(=6\cdot 6^{k+2}+49\cdot 43k-49\cdot 6^{k+2}\)

\(43(49k-6^{k+2})\)

\(49k-6^{k+2}\) は整数であるから,\(a_{k+1}\) は \(43\) の倍数

よって \(n=k+1\) のときも①は成立する

( ⅰ ),( ⅱ )よりすべての自然数 \(n\) について①は成り立つ

解法②合同式の利用

合同式について

mod 43 とすると

\(7^{2n+1}=7\cdot 7^{2n}=7\cdot 49^{n}≡7\cdot 6^{n}\)

であることを利用!

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです!

不安がある方、未履修の方は

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考に合同式についてマスターしましょう!

解答

以下 mod 43 として考える.

\(7^{2n+1}=7\cdot 7^{2n}=7\cdot 49^{n}≡7\cdot 6^{n}\) より

\(a_{n}=36\cdot 6^n+7\cdot 49^n≡36\cdot 6^n+7\cdot 6^n=43\cdot 6^n≡0\)

したがって,\(a_{n}\) は \(43\) で割り切れる.

 

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