倍数判定法のまとめ
・\(2\) の倍数：下一桁が \(2\) の倍数
・\(3\) の倍数：各位の和が \(3\) の倍数
・\(4\) の倍数：下二桁が \(4\) の倍数
・\(5\) の倍数：下一桁が \(5\) の倍数
・\(8\) の倍数：下三桁が \(8\) の倍数
・\(9\) の倍数：各位の和が \(9\) の倍数
・\(11\) の倍数：「奇数桁の数の和」と「偶数桁の数の和」の差が \(11\) の倍数
倍数判定法の証明
\(2\)，\(4\)，\(8\) の倍数判定法の考え方・証明
\(2\)，\(4\)，\(8\) の倍数については，セットで覚えましょう！
覚え方としては，
\(2\) の \(1\) 乗の倍数は，下一桁が \(2\) の倍数
\(2\) の \(2\) 乗の倍数は，下ニ桁が \(4\) の倍数
\(2\) の \(3\) 乗の倍数は，下三桁が \(8\) の倍数
となります。
出題されることはないと思いますが，同じ理屈で，
\(2\) の \(4\) 乗の倍数(つまり \(16\) の倍数 ) は，下四桁が \(16\) の倍数のように考えることができます。
以下では例として，\(4\) の倍数について考えてみましょう！
\(4\) の倍数の判定法の証明について
内ここでは \(5\) 桁の自然数について考えてみましょう！
何桁になっても証明の仕方・考え方は同じです！！
\(5\) 桁の自然数 \(N\) を
\(N=a\times 10^4+b\times 10^3+c\times 10^2+d\times 10+e\) とおく．
\(N=4(2500a+250b+25c)+10d+e\) より
\(4(2500a+250b+25c)\) は \(4\) の倍数であるから，
\(N\) が \(4\) の倍数 \(\iff\) \(10d+e\) は \(4\) の倍数 \(\iff\) 下二桁が \(4\) の倍数．
\(3\)，\(9\) の倍数判定法の証明
\(3\)，\(9\) の倍数についてもセットで覚えましょう！
証明の仕方も同様になります。
ここでは \(5\) 桁の自然数について考えてみましょう。
\(9\) の倍数の判定法の証明について
\(5\) 桁の自然数 \(N\) を
\(N=a\times 10^4+b\times 10^3+c\times 10^2+d\times 10+e\) とおく．
\(N=(9999a+a)+(999b+b)+(99c+c)+(9d+d)+e\\=9(1111a+111b+11c+d)+a+b+c+d+e\)
\(9(1111a+111b+11c+d)\) は \(9\) の倍数であるから，
\(N\) が \(9\) の倍数 \(\iff\) \(a+b+c+d+e\) は \(9\) の倍数
したがって，各位の和が \(9\) の倍数．
\(11\) の倍数判定法の例題、証明
\(11\) の倍数については，他に比べると出題される数は少ないですが，ぜひ覚えておきたい差がつく知識になります！
証明については合同式を利用しますので，合同式については「合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」を参考に！
例題
《具体例》
例①：\(275\) について
奇数桁の数の和：\(2+5=7\)
偶数桁の数の和：\(7\) より
これらの差は，\(7-7=0\) となり \(11\) の倍数となる．
よって，\(275\) は \(11\) の倍数となる．(※ \(275=11\times 25\) )
例②：\(15907243\) について
奇数桁の数の和：\(5+0+2+3=10\)
偶数桁の数の和：\(1+9+7+4=21\) より
これらの差は，\(10-21=-11\) となり \(11\) の倍数となる．
よって，\(15907243\) は \(11\) の倍数となる．(※ \(15907243=11\times 1446113\) )
証明
\(5\) 桁の自然数 \(N\) を
\(N=a\times 10^4+b\times 10^3+c\times 10^2+d\times 10+e\) とおく．
\(10≡-1\) ( \(mod 11\) ) より
\(10^4≡1\)，\(10^3≡-1\)，\(10^2≡1\)，\(10≡-1\) ( \(mod 11\) ) より
\(N≡a-b+c-d+e\) ( \(mod 11\) )
よって，\(N\) が \(11\) の倍数 \(\iff\) \(a-b+c-d+e\) は \(11\) の倍数
「奇数桁の数の和」と「偶数桁の数の和」の差が \(11\) の倍数となる．
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