【2023東京都立大学・数理科・第１問】
関数 \(f(x)\) と定数 \(C\) が
\(\displaystyle\int^{x}_{0}f(t) dt+\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\sin(x+t) dt=x+C\)
をみたすとする．以下の問に答えなさい．
(１) 定数 \(a\) , \(b\) を
\(a=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\sin t dt\)，\(b=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\cos t dt\)
とするとき，関数 \(f(x)\) を \(a\) ，\(b\) を用いて表しなさい．
(２) 定数 \(a\) , \(b\) の値，および関数 \(f(x)\) を求めなさい．
(３) 定数 \(C\) の値を求めなさい．
解答・解説
(１) \(f(x)\) を \(a\) ，\(b\) を用いて表しなさい．
\(\displaystyle\int^{x}_{0}f(t) dt+\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\sin(x+t) dt=x+C\) より
\(\displaystyle\int^{x}_{0}f(t) dt+\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)(\sin x\cos t+\cos x\sin t) dt=x+C\)
\(\displaystyle\int^{x}_{0}f(t) dt+\sin x \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\cos t dt+\cos x \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\sin t dt=x+C\)
\(a=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\sin t dt\)，\(b=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\cos t dt\) とおくと
\(\displaystyle\int^{x}_{0}f(t) dt+b\sin x+a\cos x=x+C\)
積分区間の上端に \(x\) を含むとき
\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt\) の形を見たら
① \(x\) で微分する：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=f(x)\)
② \(x=a\) ( \(x\) に下端を ) 代入：\(\displaystyle\int^{a}_{a}f(t) \enspace dt=0\)
\(\displaystyle\int^{x}_{0}f(t) dt+b\sin x+a\cos x=x+C\) の両辺を \(x\) で微分すると
\(f(x)+b\cos x-a\sin x=1\)
よって \(f(x)=a\sin x-b\cos x+1\)
(２) 定数 \(a\) , \(b\) の値，および関数 \(f(x)\) を求めなさい．
(１)より \(f(t)=a\sin t-b\cos t+1\) を
\(a=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\sin t dt\)，\(b=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(t)\cos t dt\) に代入してそれぞれ計算する．
\(a=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(a\sin t-b\cos t+1)\sin t dt\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(a\sin^2 t-b\sin t\cos t+\sin t) dt\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\left(a\cdot\displaystyle\frac{1-\cos 2t}{2}-\displaystyle\frac{b}{2}\sin 2t+\sin t\right) dt\)
\(=\Bigl[\displaystyle\frac{a}{2}t-\displaystyle\frac{a}{4}\sin 2t+\displaystyle\frac{b}{4}\sin 2t-\cos t\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}\)
\(=\displaystyle\frac{a\pi}{4}-\displaystyle\frac{b}{2}+1\)
よって，\((4-\pi)a=4-2b\) ・・・①
\(b=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(a\sin t-b\cos t+1)\cos t dt\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\left(a\sin t\cos t-b\cos^2t+\cos t\right)dt\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\left(\displaystyle\frac{a}{2}\sin 2t-b\cdot\displaystyle\frac{1+\cos 2t}{2}+\cos t\right)dt\)
\(=\Bigl[-\displaystyle\frac{a}{4}\cos 2t-\displaystyle\frac{bt}{2}-\displaystyle\frac{b}{4}\sin 2t+\sin t\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}\)
\(=\displaystyle\frac{a}{2}-\displaystyle\frac{b\pi}{4}+1\)
よって，\((4+\pi)b=4+2a\) ・・・②
①，②より \(a=\displaystyle\frac{8+4\pi}{20-\pi^2}\)，\(b=\displaystyle\frac{24-4\pi}{20-\pi^2}\)
したがって，\(f(x)=\displaystyle\frac{8+4\pi}{20-\pi^2}\sin x-\displaystyle\frac{24-4\pi}{20-\pi^2}\cos x+1\)
(３) 定数 \(C\) の値を求めなさい．
\(\displaystyle\int^{x}_{0}f(t) dt+b\sin x+a\cos x=x+C\) に \(x=0\) を代入すると
\(C=a=\displaystyle\frac{8+4\pi}{20-\pi^2}\)
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