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【2023札幌医科大・医学部】シュートの成功確率p|条件付き確率

場合の数・確率

【2023札幌医科大学・前期・医学部・第3問】

確率 \(p\) でシュートを成功させる選手がいる.ある試合中に,この選手は \(3\) 回のシュートを試みた.

(1) この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させた確率を,\(p\) を用いて表せ.

この選手の親は試合を観戦できなかったが,「 \(3\) 回のシュートのうち少なくとも \(1\) 回のシュートを成功させた」という事実 \(A\) が起こったことを知った.この事象 \(A\) が起こったときに,この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率は \(\displaystyle\frac{25}{109}\) であるという.

(2) \(p\) の値を求めよ.

(3) 事象 \(A\) が起こったときに,この選手が \(2\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率を求めよ.

解答・解説

(1) この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させた確率

\(1\) 回のシュートで成功する確率は \(p\) ,失敗する確率は \(1-p\) より

\(3\) 回目で初めてシュートが成功する確率は \((1-p)^2p\)

(2) \(p\) の値

「 \(3\) 回のシュートのうち少なくとも \(1\) 回のシュートを成功させた」という事象 \(A\) が起こった確率を \(P(A)\) とする.余事象で考えると

\(P(A)=1-(1-p)^3\)

「\(3\) 回目で初めてシュートを成功させた」という事象を \(B\) とすると,(1)より

\(P(A\cap B)=(1-p)^2p\)

事象 \(A\) が起こったときに,この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率は \(\displaystyle\frac{25}{109}\) より

\(\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\displaystyle\frac{25}{109}\)

\(\displaystyle\frac{(1-p)^2p}{1-(1-p)^3}=\displaystyle\frac{25}{109}\)

\(\displaystyle\frac{1-2p+p^2}{3-3p+p^2}=\displaystyle\frac{25}{109}\)

\(84p^2-143p+34=0\)

\((7p-2)(12p-17)=0\)

\(0≦p≦1\) より \(p=\displaystyle\frac{2}{7}\)

(3) 事象 \(A\) が起こったときに,\(2\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率

事象 \(A\) が起こり かつ \(2\) 回目で初めてシュートを成功させる確率は

\((1-p)\cdot p \cdot 1=(1-p)p\) より

事象 \(A\) が起こったときに,この選手が \(2\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率は

\(\displaystyle\frac{(1-p)p}{P(A)}=\displaystyle\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^3}\)

(2)より \(p=\displaystyle\frac{2}{7}\) より

したがって求める条件付き確率は \(\displaystyle\frac{35}{109}\)

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