【2023札幌医科大学・前期・医学部・第３問】
確率 \(p\) でシュートを成功させる選手がいる．ある試合中に，この選手は \(3\) 回のシュートを試みた．
(１) この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させた確率を，\(p\) を用いて表せ．
この選手の親は試合を観戦できなかったが，「 \(3\) 回のシュートのうち少なくとも \(1\) 回のシュートを成功させた」という事実 \(A\) が起こったことを知った．この事象 \(A\) が起こったときに，この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率は \(\displaystyle\frac{25}{109}\) であるという．
(２) \(p\) の値を求めよ．
(３) 事象 \(A\) が起こったときに，この選手が \(2\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率を求めよ．
解答・解説
(１) この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させた確率
\(1\) 回のシュートで成功する確率は \(p\) ，失敗する確率は \(1-p\) より
\(3\) 回目で初めてシュートが成功する確率は \((1-p)^2p\)
(２) \(p\) の値
「 \(3\) 回のシュートのうち少なくとも \(1\) 回のシュートを成功させた」という事象 \(A\) が起こった確率を \(P(A)\) とする．余事象で考えると
\(P(A)=1-(1-p)^3\)
「\(3\) 回目で初めてシュートを成功させた」という事象を \(B\) とすると，(１)より
\(P(A\cap B)=(1-p)^2p\)
事象 \(A\) が起こったときに，この選手が \(3\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率は \(\displaystyle\frac{25}{109}\) より
\(\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\displaystyle\frac{25}{109}\)
\(\displaystyle\frac{(1-p)^2p}{1-(1-p)^3}=\displaystyle\frac{25}{109}\)
\(\displaystyle\frac{1-2p+p^2}{3-3p+p^2}=\displaystyle\frac{25}{109}\)
\(84p^2-143p+34=0\)
\((7p-2)(12p-17)=0\)
\(0≦p≦1\) より \(p=\displaystyle\frac{2}{7}\)
(３) 事象 \(A\) が起こったときに，\(2\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率
事象 \(A\) が起こり かつ \(2\) 回目で初めてシュートを成功させる確率は
\((1-p)\cdot p \cdot 1=(1-p)p\) より
事象 \(A\) が起こったときに，この選手が \(2\) 回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率は
\(\displaystyle\frac{(1-p)p}{P(A)}=\displaystyle\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^3}\)
(２)より \(p=\displaystyle\frac{2}{7}\) より
したがって求める条件付き確率は \(\displaystyle\frac{35}{109}\)
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