【大阪公立大学・理・第２問】
\(n\) を \(2\) 以上の整数とする．\(1\) から \(6\) までの目のある \(1\) 個のさいころを \(n\) 回続けて投げるとき， \(n\) 回目で初めて直前の回と同じ目が出る確率を \(P_{n}\) で表す．次の問いに答えよ．
問1 \(P_{n}\) を \(n\) を用いて表せ．
問2 \(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{P_{k}}\) を \(n\) を用いて表せ．
問3 \(S_{n}≧\displaystyle\frac{1}{2}\) となる最小の \(n\) を求めよ．
問4 \(E_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{kP_{k}}\)を \(n\) を用いて表せ．
解答・解説
問1
直前の回と同じ目が出る確率は \(\displaystyle\frac{1}{6}\) ，
同じ目が出ない確率は \(\displaystyle\frac{5}{6}\) である．
\(n≧3\) のとき
\(1\) 回目のさいころはどの目が出てもよい
\(2,3,\cdots,n-1\) 回目のさいころは，直前の回と異なる目が出て，
\(n\) 回目に直前の回と同じ目が出るときである．
よって求める確率は，
\(P_{n}=1\times \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\times \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\)
\(n=2\) のとき，\(P_{2}=\displaystyle\frac{1}{6}\) となり成り立つ．
したがって，\(P_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\)
問2
問1 より，
\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}\)
初項 \(\displaystyle\frac{1}{6}\)，公比 \(\displaystyle\frac{5}{6}\)，項数 \(n-1\) の等比数列の和であるから
\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}}{1-\displaystyle\frac{5}{6}}=1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)
問3
\(S_{n}≧\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\iff\) \(1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}≧\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\iff\) \(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}≦\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\) は単調減少であり，
\(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{4-1}=\displaystyle\frac{125}{216}>\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{5-1}=\displaystyle\frac{625}{1296}<\displaystyle\frac{1}{2}\) より
求める \(n=5\)
問4
問1 より
\(E_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{k\times \displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{k \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}\)
等差×等比数列の総和について
等差数列 \(\times\) 等比数列の総和(Σ)
⇒ 公比をかけて，差をとる !!
\(T_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{k \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}\) とおくと
\(E_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}T_{n}\) ・・・②
\(T_{n}=2+3\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+4\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\)
\(\displaystyle\frac{5}{6}T_{n}=2\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+3\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+4\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3+\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)
差をとると
\(T_{n}-\displaystyle\frac{5}{6}T_{n}=2+\left\{\displaystyle\frac{5}{6}+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\cdots+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\right\}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)
\(\displaystyle\frac{1}{6}T_{n}=7-(n+6)\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)
したがって②より，
\(E_{n}=7-(n+6)\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)
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