【1997一橋大学】5^n+an+bが16の倍数となる16以下のa,b

考え方

もう少し簡単に言うと、

「 すべてで成立つなら、\(n=1\) や \(n=2\) など具体的な値を代入しても成り立つ！ 」と言うことからスタートしようと言うことです。

しかし、\(n=1\) や \(n=2\) で成立つような \(a\)、\(b\) が求まっても、それは答えの候補。

必ずそのときの \(a\)、\(b\) で、他の \(n\) を代入して成り立つかどうかは分からないため、他の \(n\) を代入して成り立つことを確認(証明)する必要があると言う流れです。

このポイントは、整数問題に関わらず、様々な分野で出題される有名なポイントになりますので、２次試験で数学を利用する人は是非おさえておきたいポイントです。

解答

すべての正の整数 \(n\) に対して \(5^n+an+b\) が \(16\) の倍数となるためには、

少なくとも \(n=1\)、\(n=2\) のときに \(5^n+an+b\) が \(16\) の倍数とならなければいけない．

以下では \(mod 16\) として考えると、

\(n=1\) のとき、\(5^n+an+b≡a+b+5≡0\) ・・・①

\(n=2\) のとき、\(5^n+an+b≡2a+b+9≡0\) ・・・②

②－①より

\((2a+b+9)-(a+b+5)≡a+4≡0\)

これを満たす \(16\) 以下の正の整数 \(a\) は、\(a=12\)

次に①より、\(b+17≡b+1≡0\)

これを満たす \(16\) 以下の正の整数 \(b\) は、\(b=15\)

よって、\(a=12\)、\(b=15\) である必要がある．

ここで求まったのは、答えの候補です。

この時に、本当に正しいかどうか確認(証明)しましょう！

ここで解答を終わってしまったら大幅な減点です！

逆にこのとき、

「すべての正の整数 \(n\) に対して \(5^n+12n+15\) が \(16\) の倍数」となることを証明する．

二項定理より

\(5^n=(4+1)^n\)

\(=_{n}C_{0}+_{n}C_{1}4+_{n}C_{2}4^2+\cdots+_{n}C_{r}4^r+\cdots+_{n}C_{n-1}4^{n-1}+_{n}C_{n}4^n\) ・・・③

③において、\(r≧2\) のとき、\(_{n}C_{r}4^r≡0\)  より、

\(5^n≡_{n}C_{0}+_{n}C_{1}4=1+4n\)

したがって、

\(5^n+12n+15≡(1+4n)+12n+15=16n+16≡0\) より、

すべての正の整数 \(n\) に対して、 \(5^n+12n+15\) は \(16\) の倍数となる．

以上より、\(a=12\)、\(b=15\)