【2022大阪公立大学・理系・第１問】
\(\log\) を自然対数，\(e\) をその底とする．次の問いに答えよ．
問1 \(x≧0\) のとき，
\(x-\displaystyle\frac{x^2}{2}≦\log{(1+x)}≦x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}\)
が成り立つことを示せ．
問2 \(t≧0\) とする．次の極限を \(t\) を用いて表せ．
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} e^{nt}\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)^{-n^2}\)
問3 問2 で求めた極限を \(f(t)\) とおく．このとき
\(\displaystyle\int^{100}_{0}f(t) dt<\displaystyle\frac{e^{5000}}{50}\)
が成り立つことを示せ．
解答・解説
問1
\(g(x)=\log{(1+x)}-\left(x-\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)\)
\(h(x)=x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}-\log{(1+x)}\) とおく．
\(x≧0\) において
\(g^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x}-(1-x)=\displaystyle\frac{x^2}{1+x}≧0\)
\(h^{\prime}(x)=1-x+x^2-\displaystyle\frac{1}{1+x}=\displaystyle\frac{x^3}{1+x}≧0\)
よって \(g(x)\)，\(h(x)\) は単調増加なグラフであり，
\(g(0)=0\) ，\(h(0)=0\) より
\(x≧0\) において \(g(x)≧0\)，\(h(x)≧0\) が成り立つ．
したがって，\(x-\displaystyle\frac{x^2}{2}≦\log{(1+x)}≦x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}\)
問2
\(\log{e^{nt}\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)^{-n^2}}=nt-n^2\log\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)\)
ここで \(\displaystyle\frac{t}{n}≧0\) より，問1 の結果を利用すると
\(\displaystyle\frac{t}{n}-\displaystyle\frac{t^2}{2n^2}≦\log{\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)}≦\displaystyle\frac{t}{n}-\displaystyle\frac{t^2}{2n^2}+\displaystyle\frac{t^3}{3n^3}\)
\(\iff\) \(\displaystyle\frac{t^2}{2}-\displaystyle\frac{t^3}{3n}≦nt-n^2\log\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)≦\displaystyle\frac{t^2}{2}\)
\(\iff\) \(\displaystyle\frac{t^2}{2}-\displaystyle\frac{t^3}{3n}≦\log{e^{nt}\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)^{-n^2}}≦\displaystyle\frac{t^2}{2}\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{t^3}{3n}=0\) より，はさみうちの原理から
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \log{e^{nt}\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)^{-n^2}}=\displaystyle\frac{t^2}{2}\)
したがって，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} e^{nt}\left(1+\displaystyle\frac{t}{n}\right)^{-n^2}=e^{\frac{t^2}{2}}\)
問3
\(\displaystyle\int^{100}_{0}e^{50t} dt=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{50}e^{50t}\Bigr]^{100}_{0}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{50}\left(e^{5000}-1\right)<\displaystyle\frac{e^{5000}}{50}\) ・・・①
ここで \(0≦t≦100\) において，
\(\displaystyle\frac{t^2}{2}-50t=\displaystyle\frac{t}{2}(t-100)≦0\) より
\(\displaystyle\frac{t^2}{2}≦50t\) なので \(e^{\frac{t^2}{2}}≦e^{50t}\)
よって，\(\displaystyle\int^{100}_{0} e^{\frac{t^2}{2}}dt≦\displaystyle\int^{100}_{0} e^{50t}dt\)
①より \(\displaystyle\int^{100}_{0}f(t) dt<\displaystyle\frac{e^{5000}}{50}\)
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