スポンサーリンク

2021 兵庫県立大学【整数】平方数には合同式(mod)を使え!

数学(大学入試問題)

2021兵庫県立大学

\(48n+3=m^2\) を満たす整数 \(m , n\) の組は存在しないことを示しなさい.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

☆平方数・指数はmod 3,mod 4 が有効

難関大学ではよく出題されるPointの1つ!

まずは下の表を見てください。

平方数において

何かの2乗(平方数)において、

mod 3→「1,1,0」の繰り返し

mod 4→「1,0」の繰り返し

という規則が存在!

 

指数において

指数においてもmod 3,mod 4を考えることで規則性を見つけることが出来る!

参考:平方数とmod 3、4、5、8について

上で紹介したように、平方数と合同式は非常に相性抜群です!

特に \(mod 3\) や \(mod 4\) は頻出ですので絶対に抑え、さらに参考として、\(mod 5\)、\(mod 8\) についても  紹介しておきます。

  • mod 3 ➡ 「0、1」のみ
  • mod 4 ➡ 「0、1」のみ
  • mod 5 ➡ 「0、1、4」のみ
  • mod 8 ➡ 「0、1、4」のみ

解法1:合同式の利用

\(48n+3=m^2\) を満たす整数 \(m , n\) の組は存在しないことを示しなさい.

\(mod 4\) で考える

(ア) \(m≡0\) のとき \(m^2≡0\)

(イ) \(m≡1\) のとき \(m^2≡1\)

(ウ) \(m≡2\) のとき \(m^2≡4≡0\)

(エ) \(m≡3\) のとき \(m^2≡9≡1\)

 

(ア)~(エ)より、\(m^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) または \(1\)

一方で、\(48n+3≡3\) より、\(48n+3\) を \(4\) で割った余りは \(3\)

したがって、\(4\) で割った余りが左辺と右辺で異なるため、\(48n+3=m^2\) を満たす整数 \(m , n\) の組は存在しない.

解法2:背理法

背理法で考える.

\(48n+3=m^2\) を満たす整数 \(m , n\) の組が存在すると仮定する.

\(48n+3=2(24n+1)+1\) より奇数であるから、

\(m^2\) は奇数.

つまり【※補足(下記で証明)】より、\(m\) も奇数となる.

ここで\(m=2a+1\) (\(a\) は整数) とおくと、

\(48n+3=(2a+1)^2\)

\(48n+3=4a^2+4a+1\)

\(24n+1=2a^2+2a\)

\(2(12n)+1=2(a^2+a)\)

左辺は奇数、右辺は偶数となり、矛盾.

したがって、\(48n+3=m^2\) を満たす整数 \(m , n\) の組は存在しない

 

【※補足】

「\(m^2\) が奇数ならば \(m\) は奇数 」

対偶をとって、「\(m\) が偶数ならば \(m^2\) は偶数」であることを示せばよい.

\(m\) は偶数より、整数 \(k\) を用いて、

\(m=2k\) とおける.

このとき、

\(m^2=(2k)^2=2(2k^2)\)

\(2k^2\) は整数なので、\(m^2\) は偶数である.

よって、対偶が成立するので、もと命題(※)も成立する.

 

整数問題について

整数問題は、教科書だけではなかなか学習しきれない分野です。

今回「平方数・指数はmod 3,mod 4 が有効」などのテーマを扱いましたが、このような発想は一度経験したことがないとなかなか難しいです。(しかし頻出)

このサイトでは整数問題をメインに、学校ではなかなか学習しない有名入試問題の解法・考え方を紹介しています。受験勉強の参考に活用してください!

2016 京都大学(理系:第2問)整数問題【素数】p^q+q^p と表される素数
素数の扱い方、平方数・指数はmod3やmod4が有効であることなど、学校の数学の授業、参考書ではあまり学習しない内容を具体例を交えて考え方を紹介。ただ答えをなぞる勉強でなく、考え方・思考の仕方を勉強しましょう!p^q+q^pと表される素数。整数問題。2次試験対策。良問
【整数問題】素数・背理法| 総合問題
【数学ⅠA】背理法と素数(整数問題)の総合問題。難関大学受験数学の実践演習問題。 また、「互いに素な2つの整数の、和と積も互いに素である」の有名性質を利用した別解も紹介。

コメント

タイトルとURLをコピーしました