【2007大阪大学】
\(xy\) 平面において，原点 \(O\) を通る半径 \(r\) ( \(r>0\) ) の円を \(C\) とし，その中心を \(A\) とする．\(O\) を除く \(C\) 上の点 \(P\) に対し，次の条件 \((a)\) , \((b)\) で定まる点 \(Q\) を考える．
\((a)\) \(\overrightarrow{OP}\) と \(\overrightarrow{OQ}\) は向きが同じ．
\((b)\) \(\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1\)．
以下の問いに答えよ．
(１) 点 \(P\) が \(O\) を除く \(C\) 上を動くとき，点 \(Q\) は \(\overrightarrow{OA}\) に直交する直線上を動くことを示せ．
(２) (１)の直線を \(l\) とする．\(l\) が \(C\) と \(2\) 点で交わるとき， \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ．
反転(円に関する鏡像変換)
平面上において，\(O\) を中心とする半径 \(r\) の円を考える．
この円 \(O\) に関する反転とは，平面上の点 \(P\) に対して半直線 \(OP\) 上で，\(OP・OQ=r^2\) となる点 \(Q\) を対応させる対応のこと．
入試では頻出テーマの１つです。
差がつく問題になりますので，この問題を通して演習し経験値を身につけましょう！
解答・解説
(１)
題意より
\(\left|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\right|=r\) ・・・①
\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=r\) ・・・②
条件 \((a)\) より，正の実数 \(k\) を用いて
\(\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}\) ・・・③ とおける．
条件 \((b)\) より，\(\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|k\overrightarrow{OP}\right|=1\)
よって，\(k=\displaystyle\frac{1}{\left|\overrightarrow{OP}\right|^2}\)
③より，\(\overrightarrow{OQ}=\displaystyle\frac{1}{\left|\overrightarrow{OP}\right|^2}\overrightarrow{OP}\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OP}=\left|\overrightarrow{OP}\right|^2\overrightarrow{OQ}\) ・・・④
①を \(2\) 乗して
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}+\left|\overrightarrow{OA}\right|^2=r^2\)
②より\(\left|\overrightarrow{OA}\right|^2=r^2\) であるから
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=0\)
これに④を代入すると，
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|^4\left|\overrightarrow{OQ}\right|^2-2\left|\overrightarrow{OP}\right|^2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OQ}=0\)
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|\not=0\) より
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|^2\left|\overrightarrow{OQ}\right|^2-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OQ}=0\)
条件 \((b)\) より
\(1-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OQ}=0\)
よって，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OQ}=\displaystyle\frac{1}{2}\)
ここで，\(\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2})\) , \(\overrightarrow{OQ}=(x,y)\) とおくと，
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OQ}=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\iff\) \(a_{1}x+a_{2}y=\displaystyle\frac{1}{2}\) となり，
これは直線 \(OA\) ： \(a_{2}x-a_{1}y=0\) と直交する．
したがって題意は示された．
(２)
円の中心の点 \(A (a_{1},a_{2})\) と，直線 \(a_{1}x+a_{2}y=\displaystyle\frac{1}{2}\) の距離が \(r\) より小さくなれば良いので，
\(\displaystyle\frac{|a_{1}^2+a_{2}^2-\frac{1}{2}|}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2}}<r\)
②より \(a_{1}^2+a_{2}^2=r^2\) なので
\(\displaystyle\frac{|r^2-\frac{1}{2}|}{\sqrt{r^2}}<r\)
\(|r^2-\displaystyle\frac{1}{2}|<r^2\)
\(-r^2<r^2-\displaystyle\frac{1}{2}<r^2\)
\(r^2>\displaystyle\frac{1}{4}\)
\(r>0\) であるから，\(r>\displaystyle\frac{1}{2}\)
コメント