【2006大阪大学】対数の整数部分と不等式評価｜\(\log_{2}{6}\) について

解答・解説

(１)小数部分

\(0<\displaystyle\frac{1}{n+a}<1\) より

\(m\) は \(\log_{2}{6}\) の整数部分を表す．

\(4<6<8\) より，\(\log_{2}{4}<\log_{2}{6}<\log_{2}{8}\)

つまり，\(2<\log_{2}{6}<3\) であるから

\(\log_{2}{6}\) の整数部分は \(2\) である．

よって，\(m=2\)

次に，\(\displaystyle\frac{1}{n+a}=\log_{2}{6}-2=\log_{2}{6}-\log_{2}{4}\) より

\(\displaystyle\frac{1}{n+a}=\log_{2}{\displaystyle\frac{3}{2}}\)

逆数をとると，

\(n+a=\displaystyle\frac{1}{\log_{2}{\displaystyle\frac{3}{2}}}=\log_{\frac{3}{2}}{2}\) ・・・①

\(0<a<1\) より

\(n\) は \(\log_{\frac{3}{2}}{2}\) の整数部分を表す．

\(\displaystyle\frac{3}{2}<2<\displaystyle\frac{9}{4}\) より，\(\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{3}{2}}<\log_{\frac{3}{2}}{2}<\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{9}{4}}\)

つまり，\(1<\log_{\frac{3}{2}}{2}<2\) であるから

\(\log_{\frac{3}{2}}{2}\) の整数部分は \(1\) である．

よって，\(m=1\)

以上より，\(m=2\) , \(n=1\)

(２)不等式評価

(１)の①より

\(a=\log_{\frac{3}{2}}{2}-1=\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{4}{3}}\)

\(a>\displaystyle\frac{2}{3}\) \(\iff\) \(\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{4}{3}}>\displaystyle\frac{2}{3}=\log_{\frac{3}{2}}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{4}{3}>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)

\(\iff\) \(\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{3}>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}\)　　を示せば良い！

\(\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^3-\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{64}{27}-\displaystyle\frac{9}{4}=\displaystyle\frac{13}{108}>0\) より

\(\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^3>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2\) であるから

\(\displaystyle\frac{4}{3}>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)

底：\(\displaystyle\frac{3}{2}>1\) となる対数をとると

\(\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{4}{3}}>\log_{\frac{3}{2}}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3}}=\displaystyle\frac{2}{3}\)

したがって，\(a>\displaystyle\frac{2}{3}\)