スポンサーリンク

【2006大阪大学】対数の整数部分と不等式評価|\(\log_{2}{6}\) について

数学(大学入試問題)

【2006大阪大学】

自然数 \(m\) ,  \(n\) と \(0<a<1\) を満たす実数 \(a\) を , 等式

\(\log_{2}{6}=m+\displaystyle\frac{1}{n+a}\)

が成り立つようにとる.以下の問いに答えよ.

(1) 自然数 \(m\) ,  \(n\) を求めよ.

(2) 不等式 \(a>\displaystyle\frac{2}{3}\) が成り立つことを示せ.

解答・解説

(1)小数部分

\(0<\displaystyle\frac{1}{n+a}<1\) より

\(m\) は \(\log_{2}{6}\) の整数部分を表す.

\(4<6<8\) より,\(\log_{2}{4}<\log_{2}{6}<\log_{2}{8}\)

つまり,\(2<\log_{2}{6}<3\) であるから

\(\log_{2}{6}\) の整数部分は \(2\) である.

よって,\(m=2\)

次に,\(\displaystyle\frac{1}{n+a}=\log_{2}{6}-2=\log_{2}{6}-\log_{2}{4}\) より

\(\displaystyle\frac{1}{n+a}=\log_{2}{\displaystyle\frac{3}{2}}\)

逆数をとると,

\(n+a=\displaystyle\frac{1}{\log_{2}{\displaystyle\frac{3}{2}}}=\log_{\frac{3}{2}}{2}\) ・・・①

\(0<a<1\) より

\(n\) は \(\log_{\frac{3}{2}}{2}\) の整数部分を表す.

\(\displaystyle\frac{3}{2}<2<\displaystyle\frac{9}{4}\) より,\(\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{3}{2}}<\log_{\frac{3}{2}}{2}<\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{9}{4}}\)

つまり,\(1<\log_{\frac{3}{2}}{2}<2\) であるから

\(\log_{\frac{3}{2}}{2}\) の整数部分は \(1\) である.

よって,\(m=1\)

以上より,\(m=2\) , \(n=1\)

(2)不等式評価

(1)の①より

\(a=\log_{\frac{3}{2}}{2}-1=\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{4}{3}}\)

\(a>\displaystyle\frac{2}{3}\) \(\iff\) \(\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{4}{3}}>\displaystyle\frac{2}{3}=\log_{\frac{3}{2}}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)}^{\frac{2}{3}}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{4}{3}>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)

\(\iff\) \(\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{3}>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}\)  を示せば良い!

\(\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^3-\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{64}{27}-\displaystyle\frac{9}{4}=\displaystyle\frac{13}{108}>0\) より

\(\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^3>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2\) であるから

\(\displaystyle\frac{4}{3}>\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)

底:\(\displaystyle\frac{3}{2}>1\) となる対数をとると

\(\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{4}{3}}>\log_{\frac{3}{2}}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^\frac{2}{3}}=\displaystyle\frac{2}{3}\)

したがって,\(a>\displaystyle\frac{2}{3}\)

コメント

タイトルとURLをコピーしました