【2022関西大学】対数型の漸化式と極限

【2022関西大学】

数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を

\(a_{1}=\sqrt[3]{3}\)，\(a_{2}=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3}}\)，\(a_{3}=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3}}\)，\(a_{4}=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{3}}\)，\(\cdots\)

で定めたとき，\(a_{n}\)，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}\) を求めよ．

解答・解説

\(a_{n+1}=\sqrt[3]{3a_{n}}=\left(3a_{n}\right)^{\frac{1}{3}}\) とおける．

この漸化式の設定の仕方は言われたらわかるけど・・・

経験したことあるかどうかで差が大きく開きますね！

ちなみにこのあとは漸化式のパターン問題！！

【2017大阪大学】対数型の漸化式(パターン16)｜数学B：数列

を確認してください！

両辺正より，底を \(3\) とする対数をとると

\(\log_{3}{a_{n+1}}=\log_{3}{\left(3a_{n}\right)^{\frac{1}{3}}}\)

よって，\(\log_{3}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{1}{3}\log_{3}{a_{n}}+\displaystyle\frac{1}{3}\)

ここで，\(b_{n}=\log_{3}{a_{n}}\) とおく．\(b_{1}=\log_{3}{a_{1}}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

隣接二項間の形に帰着しました！

一番有名なタイプですからここからは大丈夫ですよね？？

心配な方はしっかりと解法手順をマスターしましょう！漸化式は完全パターンもの！！

【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ｜数学B数列

\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{3}b_{n}+\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(\iff\) \(b_{n+1}-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(b_{n}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)

\(b_{n}-\displaystyle\frac{1}{2}=\left(b_{1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)

\(b_{n}=-\displaystyle\frac{1}{6}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n-1}+\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^n}\right)\)

\(b_{n}=\log_{3}{a_{n}}\) \(\iff\) \(a_{n}=3^{b_{n}}\) より

\(a_{n}=3^{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}\)

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{3^n}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\) より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=3^{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}\)