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2021 一橋大学(第5問)|積分・確率・整数(総合問題)

数学(大学入試問題)

【2021 一橋大学・第5問】

サイコロを \(3\) 回投げて出た目を順に \(a\)、\(b\)、\(c\) とするとき、

\(\displaystyle\int_{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c) \enspace dx=0\)

となる確率を求めよ.

考え方

与式の \(\displaystyle\int_{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c) \enspace dx\) をそのまま計算しても良いが、もの凄く煩雑な計算、そして文字が複数登場し、大変であることが容易に想像できます。

だからこそ、何かしらの工夫を施したいと考えられるようになって欲しい!(最初からゴリ押しの計算はやめましょう!ゴリ押しの計算は最終手段!!)

そこで、積分区間に注目し、以下の

Ⅰ.平行移動

Ⅱ.偶関数・奇関数の利用

を上手に活用しましょう!

Ⅰ.平行移動

図2は、図1を \(x\) 軸方向に \(3\) 平行移動しただけであるから、

\(\displaystyle\int_{-2}^{1} x(x-2) \enspace dx = \displaystyle\int_{-2+3}^{1+3} (x-3)(x-2-3) \enspace dx = \displaystyle\int_{1}^{4} (x-3)(x-5) \enspace dx \)

が成立する

 

つまり

\(\displaystyle\int_{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c) \enspace dx\)

\(x\) 軸方向に \(-a\) 平行移動して

\(\displaystyle\int_{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c) \enspace dx=\displaystyle\int_{ -3}^{ +3} (x+a-b)(x+a-c) \enspace dx \) と変形できる

 

Ⅱ.偶関数・奇関数の利用

\(y=f(x)\) が偶関数のとき

\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \enspace dx = 2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \enspace dx \)

\(y=f(x)\) が奇関数のとき

\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \enspace dx = 0 \)

偶関数とは

\(y\) 軸に関して対称なグラフ:\(f(x) = f(-x)\)

例:\(y=3\) (定数関数)、\(y=x^2\)、\(y=\cos x\) など

奇関数とは

原点に関して対称なグラフ:\(f(-x) = -f(x)\)

例:\(y=x\)、\(y=x^3\)、\(y=\sin x\)、\(y=\tan x\) など



解答

\(\displaystyle\int_{a-3}^{a+3} (x-b)(x-c) \enspace dx=I\) とおく.

\(b≦c\) のとき

※\(b>c\) のときは、求まった \(b\)、\(c\) の値を入れ替えるだけで良いので、とりあえず大小関係を与えておいた方が処理がしやすい.

【考え方 Ⅰ.平行移動】の考え方を利用して

\(I = \displaystyle\int_{ -3}^{ +3} (x+a-b)(x+a-c) \enspace dx \) とおける.

ここで、\(\alpha=b-a\)、\(\beta=c-a\) とおく.

\(1≦a≦6\)、\(1≦b≦c≦6\) より \(-5≦\alpha≦\beta≦5\)

\(I = \displaystyle\int_{ -3}^{ +3} (x-\alpha)(x-\beta) \enspace dx\\ = \displaystyle\int_{ -3}^{ +3} \left\{ x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right\} \enspace dx \)

 

【考え方 Ⅱ.偶関数・奇関数の利用】の考え方を利用して

\(I = 2\displaystyle\int_{ 0 }^{ +3} (x^2+\alpha\beta) \enspace dx \\ = 2\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\alpha\beta x \right]^{3}_{0}\\ = 18+6\alpha\beta\)

\(I=0\) より

\(18+6\alpha\beta = 0\)

\(\alpha\beta = -3\)

\(-5≦\alpha≦\beta≦5\) より

\(( \alpha , \beta ) = ( -1 , 3 ) , ( -3 , 1 )\)

つまり、\(( b-a , c-a ) = ( -1 , 3 ) , ( -3 , 1 )\)

これを満たす \(( a , b , c )\) を計算すると

\(( a , b , c ) = ( 2 , 1 , 5 ) , ( 3 , 2 , 6 ) , ( 4 , 1 , 5 ) , ( 5 , 2 , 6 )\) の \(4\) 通り

 

\(b>c\) のとき、同様に考えて

\(( a , b , c ) = ( 2 , 5 , 1 ) , ( 3 , 6 , 2 ) , ( 4 , 5 , 1 ) , ( 5 , 6 , 2 )\) の \(4\) 通り

以上より求める確率は、\(\displaystyle\frac{8}{6^3}= \displaystyle\frac{1}{27}\)

 

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