【2022関西医科大学・医学部】3次不等式、恒等式、整数問題

【2022関西医科大学・医学部・第２問】

関数 \(f(x)\) を \(f(x)=\displaystyle\frac{6x^2+17x+10}{3x-2}\) と定めるとき，以下の設問に答えよ．

(１)　\(f(x)>0\) を満たす \(x\) の値を範囲求めよ．

(２)　\(f(x)=Ax+B+\displaystyle\frac{C}{3x-2}\) が \(x\) についての恒等式となるように，定数 \(A\)，\(B\)，\(C\) の値を定めよ．

(３)　\(f(n)\) の値が正の整数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ．

解答・解説

\(f(x)>0\) の両辺に \((3x-2)^2\) をかけると，

\((6x^2+17x+10)(3x-2)>0\)

\((x+2)(6x+5)(3x-2)>0\)

よって，

\(-2<x<-\displaystyle\frac{5}{6}\) または \(\displaystyle\frac{2}{3}<x\)

\(6x^2+17x+10=(3x-2)(2x+7)+24\) より

\(f(x)=\displaystyle\frac{(3x-2)(2x+7)+24}{3x-2}=2x+7+\displaystyle\frac{24}{3x-2}\)

したがって，\(f(x)=Ax+B+\displaystyle\frac{C}{3x-2}\) が \(x\) についての恒等式となるのは，

\(A=2\)，\(B=7\)，\(C=24\)

(１)の結果から

\(f(n)>0\) \(\iff\) \(-2<n<-\displaystyle\frac{5}{6}\) または \(\displaystyle\frac{2}{3}<n\)

つまり \(n\) は \(-1\) または正の整数

ここで \(f(-1)=\displaystyle\frac{1}{5}\) より \(f(n)\) は整数とならないため \(n=-1\) は不適．

また，(２)の結果より

\(f(n)=2n+7+\displaystyle\frac{24}{3n-2}\)

\(n>0\) より \(3n-2>0\)なので

\(f(n)\) が正の整数となるのは，\(3n-2\) が \(24\) の正の約数となるとき．

よって，\(3n-2=1,2,3,4,6,8,12,24\)

ここで，\(3n-2\) は \(3\) で割ると \(1\) 余る整数であるから，

\(3n-2=1,4\)

したがって，\(n=1,2\)