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【2010大阪大学】2^x+3^y=43、log(2)x-log(3)y=1を満たす実数解

数学(大学入試問題)

【2010大阪大学】

連立方程式

\(\begin{cases}2^x+3^y=43\\\log_{2}{x}-\log_{3}{y}=1\end{cases}\)

を考える.

(1) この連立方程式を満たす自然数 \(x\) , \(y\) の組を求めよ.

(2) この連立方程式を満たす正の実数 \(x\) , \(y\) は,(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ.

(1)整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

\(2^x\) や \(3^y\) は常に正であることを利用して、範囲を絞りましょう!

(1)解答・解説

\(2^x+3^y=43\) ・・・①

\(\log_{2}{x}-\log_{3}{y}=1\) ・・・②

①より \(2^x=43-3^y\) で,\(2^x>0\) であるから

\(43-3^y>0\) \(\iff\) \(3^y<43\)

\(y\) は自然数より \(y = 1 , 2 , 3\)

( ⅰ ) \(y=1\) のとき

①より \(2^x=40\)

これを満たす自然数 \(x\) は存在しない

( ⅱ ) \(y=2\) のとき

①より \(2^x=34\)

これを満たす自然数 \(x\) は存在しない

( ⅲ ) \(y=3\) のとき

①より \(2^x=16\)

よって \(x=4\)

このとき,\(\log_{2}{4}-\log_{3}{3}=1\) となり②を満たす.

以上より,\(x=4\) , \(y=3\)

(2)解答・解説

\(y>0\) かつ \(y\not=3\) を満たす実数解が存在するかどうかを調べる.

( ⅰ ) \(0<y<3\) のとき

\(3^0<3^y<3^3\) \(\iff\) \(1<3^y<27\)

①より,\(1<43-2^x<27\)

\(\iff\) \(16<2^x<42\)

\(\iff\) \(4<x<\log_{2}{43}\) ・・・③

また,\(\log_{3}{y}<\log_{3}{3}=1\) で②より

\(\log_{2}{x}-1<1\) \(\iff\) \(\log_{2}{x}<2\)

よって,\(x<4\) ・・・④

③,④より \(0<y<3\) を満たす実数 \(x\) は存在しない

( ⅱ ) \(3<y\) のとき

\(3^3<3^y\) \(\iff\) \(27<3^y\)

①より,\(27<43-2^x\)

\(\iff\) \(2^x<16\) \(\iff\) \(x<4\) ・・・⑤

また,\(\log_{3}{3}<\log_{3}{y}\) \(\iff\) \(1<\log_{3}{y}\)

②より,\(1<\log_{2}{x}-1\) \(\iff\) \(2<\log_{2}{x}\)

よって,\(4<x\) ・・・⑥

⑤,⑥より \(3<y\) を満たす実数 \(x\) は存在しない

したがって,題意は示された.

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