【頻出】e^x>1+x+x^2/2、e^x>1+Σx^k/k!の不等式の証明

解答・解説

(１)　\(x>0\) のとき，\(e^x>1+x\)

\(f(x)=e^x-1-x\) とおく．

\(f^{\prime}(x)=e^x-1\)

\(x>0\) のとき，\(f^{\prime}(x)>0\) なので

\(f(x)\) は単調に増加する．

よって，\(f(x)>f(0)=0\)

したがって，\(x>0\) のとき　\(e^x>1+x\)

(２)　\(x>0\) のとき，\(e^x>1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}\)

\(h(x)=e^x-1-x-\displaystyle\frac{x^2}{2}\) とおく．

\(h^{\prime}(x)=e^x-1-x=f(x)>0\) ( (1) より )

\(h(x)\) は単調に増加する．

よって，\(h(x)>h(0)=0\)

したがって，\(x>0\) のとき　\(e^x>1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}\)

(３)　\(x>0\) のとき，\(e^x>1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{x^k}{k!}}\)

\(G_{n}(x)=e^x-g_{n}(x)\) とおく．

\(x>0\) のとき，すべての自然数 \(n\) に対して，\(G_{n}(x)>0\) が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す．

( ⅰ )　\(n=1\) のとき

\(G_{1}(x)=e^x-1-x=f(x)>0\) ( (1) より )

よって，\(n=1\) のとき成り立つ．

( ⅱ )　\(n=m\) ( \(m≧1\) ) のとき，\(G_{m}(x)>0\) が成り立つと仮定する．

つまり，\(G_{m}(x)=e^x-\left(1+\displaystyle\sum_{k=1}^{m}{\displaystyle\frac{x^k}{k!}}\right)>0\) ・・・①

が成り立つと仮定する．

\(n=m+1\) のときを考えると

\(G_{m+1}(x)=e^x-\left(1+\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}{\displaystyle\frac{x^k}{k!}}\right)\) より

\(G_{m+1}^{\prime}(x)=e^x-\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}{\displaystyle\frac{kx^{k-1}}{k!}}\)

\(=e^x-\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}{\displaystyle\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}}\)

\(=e^x-\left(1+\displaystyle\sum_{k=1}^{m}{\displaystyle\frac{x^k}{k!}}\right)=G_{m}(x)\)

よって②より，\(G_{m+1}^{\prime}(x)=G_{m}(x)>0\) であるから，

\(G_{m+1}(x)\) は単調に増加する．

ゆえに，\(G_{m+1}(x)>G_{m+1}(0)=0\)

したがって，\(n=m+1\) のときも成り立つ．

( ⅰ )，( ⅱ )より \(x>0\) のとき，すべての自然数 \(n\) に対して \(G_{m}(x)>0\) が成り立つ

つまり，\(x>0\) のとき，すべての自然数 \(n\) に対して，\(e^x>g_{n}(x)\) となる．

\(n\rightarrow\infty\) のとき，

つまり，\(e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}+\cdots\)

となることが分かっています！