【2021近畿大学・文系】
\(\omega\) は \(\omega^3=1\) , \(\omega\not=1\) を満たす複素数とする．
(１) 実数 \(a\) , \(b\) に対して \(\omega^2+4\omega+5=a\omega+b\) が成り立つとき，\(a\) , \(b\) の値を求めよ．
(２) 実数 \(c\) , \(d\) に対して \(\displaystyle\frac{\omega^2+4\omega+5}{\omega+2}=c\omega+d\) が成り立つとき，\(c\) , \(d\) の値を求めよ．
(３) 自然数 \(n\) に対して，\(I_{n}=\omega^{2n}+\omega^{n}+1\) とする．
( ⅰ ) \(I_{99}\) , \(I_{100}\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}{I_{k}}\) を求めよ．
( ⅱ ) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}^2}≧2021\) となる最小の自然数 \(n\) を求めよ．
(４) 実数 \(p\) , \(q\) に対して \(p<q\) , \(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) , \((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)=\displaystyle\frac{7}{3}\) が成り立つとき，\(q\) の値を求めよ．
\(1\) の立方根： \(\omega\) (オメガ)とは？
\(\omega\) とは？
\(1\) の立方根 ( \(3\) 乗根 ) のうち，虚数解の \(1\) つを \(\omega\) (オメガ) と表す．
\(\omega\) の性質
\(3\) つの性質
１．\(\omega^3=1\)
２．\(\omega^2+\omega+1=0\)
３．周期性をもつ（ \(1\) , \(\omega\) , \(\omega^2\) を繰り返す )
《証明》
\(x^3=1\) ・・・①
\((x-1)(x^2+x+1)=0\)
\(x-1=0\) または \(x^2+x+1=0\) ・・・②
\(x = 1\) , \(\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
よって，\(1\) の立方根 ( \(3\) 乗根 ) のうち，虚数解の \(1\) つを \(\omega\) (オメガ) と表すとき
\(\omega=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\) または \(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)
値を求めましたが，
\(\omega\) の具体的な値はさほど重要ではありません！
ここで，\(x=\omega\) は①，②の解であるから
\(\omega^3=1\) , \(\omega^2+\omega+1=0\) が成り立つ．
上で求めた \(\omega\) の \(2\) つの性質は，
次数を下げることを目的として利用しましょう！
特に，\(\omega^2+\omega+1=0\) は，
\(\omega^2=-\omega-1\) と代入することで，
\(2\) 次式を \(1\) 次式に次数下げることができます！
また性質より , \(\omega^3=1\)
\(\omega^4=\omega\cdot\omega^3=\omega\)
\(\omega^5=\omega^2\cdot\omega^3=\omega^2\)
\(\omega^6=\left(\omega^3\right)^2=1\)
\(\omega^7=\omega\cdot\left(\omega^3\right)^2=\omega\)
\(\omega^8=\omega^2\cdot\left(\omega^3\right)^2=\omega^2\)
\(\omega^9=\left(\omega^3\right)^3=1\)
・・・・・
自然数 \(n\) を用いて
\(\omega^{3n-2}=\omega\) ，\(\omega^{3n-1}=\omega^2\) ，\(\omega^{3n}=1\)
となり，\(1\) , \(\omega\) , \(\omega^2\) を繰り返す．
解答・解説
(１)解答・解説
(１) 実数 \(a\) , \(b\) に対して \(\omega^2+4\omega+5=a\omega+b\) が成り立つとき，\(a\) , \(b\) の値を求めよ．
\(\omega^2+\omega+1=0\) より \(\omega^2=-\omega-1\) であるから
\((-\omega-1)+4\omega+5=a\omega+b\)
\(\iff\) \((a-3)\omega+(b-4)=0\)
\(a-3\) , \(b-4\) は実数で，\(\omega\) は虚数であるから \(a=3\) , \(b=4\)
(２)解答・解説
(２) 実数 \(c\) , \(d\) に対して \(\displaystyle\frac{\omega^2+4\omega+5}{\omega+2}=c\omega+d\) が成り立つとき，\(c\) , \(d\) の値を求めよ．
(１)より \(\displaystyle\frac{3\omega+4}{\omega+2}=c\omega+d\)
分母をはらうと
\(3\omega+4=(\omega+2)(c\omega+d)\)
\(3\omega+4=c\omega^2+(2c+d)\omega+2d\)
\(\omega^2=-\omega-1\) を代入して式を整理すると
\((c+d-3)\omega+(-c+2d-4)=0\)
\(c+d-3\) , \(-c+2d-4\) は実数で，\(\omega\) は虚数であるから
\(c+d-3=0\) , \(-c+2d-4=0\)
\(c=\displaystyle\frac{2}{3}\) , \(d=\displaystyle\frac{7}{3}\)
(３)解答・解説
(３) 自然数 \(n\) に対して，\(I_{n}=\omega^{2n}+\omega^{n}+1\) とする．
( ⅰ ) \(I_{99}\) , \(I_{100}\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}{I_{k}}\) を求めよ．
( ⅱ ) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}^2}≧2021\) となる最小の自然数 \(n\) を求めよ．
\(I_{1}=\omega^2+\omega+1=0\)
\(I_{2}=\omega^4+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1=0\)
\(I_{3}=\omega^6+\omega^3+1=1+1+1=3\) であり，
\(I_{n+3}=\omega^{2(n+3)}+\omega^{n+3}+1=\omega^{2n}\cdot\omega^6+\omega^{n}\cdot\omega^3+1=\omega^{2n}+\omega^{n}+1=I_{n}\)
したがって，\(I_{n}\) は \(0\) , \(0\) , \(3\) を繰り返す．
( ⅰ ) \(I_{99}=I_{3\times 33}=3\) , \(I_{100}=I_{3\times 33+1}=0\)
また，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}=3\times 33=99}\)
( ⅱ ) \(I_{k}^2\) ( \(k\) は自然数 ) は \(0\) , \(0\) , \(9\) を繰り返すから，
\(1\) 〜 \(n\) の中の \(3\) の倍数の個数を \(N\) とすると，
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}^2}=9N≧2021\)
よって，\(N≧\displaystyle\frac{2021}{9}=224.5\cdots\) であるから，
求める最小の \(n\) は \(N=225\) のとき \(n=225\times 3=675\)
(４)解答・解説
(４) 実数 \(p\) , \(q\) に対して \(p<q\) , \(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) , \((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)=\displaystyle\frac{7}{3}\) が成り立つとき，\(q\) の値を求めよ．
\((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)\) を展開し，
\(\omega^3=1\) , \(\omega^2=-\omega-1\) を代入してまとめると，
\((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)=p^2+q^2-pq-p-q+1\)
ここで
\(p^2+q^2-pq-p-q+1=(p+q)^2-3pq-(p+q)+1\) であり
\(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) より
\(p^2+q^2-pq-p-q+1=(p+q)^2-(p+q)-\displaystyle\frac{29}{3}\)
与式より
\((p+q)^2-(p+q)-\displaystyle\frac{29}{3}=\displaystyle\frac{7}{3}\)
\((p+q)^2-(p+q)-12=0\)
\(\left\{(p+q)-4\right\}\left\{(p+q)+3\right\}=0\)
よって，\(p+q = 4 , -3\)
これと \(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) より
\(p\) , \(q\) は \(t\) の \(2\) 次方程式
\(t^2-4t+\displaystyle\frac{32}{9}=0\) ・・・③
\(t^2+3t+\displaystyle\frac{32}{9}=0\) ・・・④
の解となる．
③のとき
\(\left(t-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\left(t-\displaystyle\frac{8}{3}\right)=0\)
\(p<q\) より \(q=\displaystyle\frac{8}{3}\)
④のとき
\(t^2+3t+\displaystyle\frac{32}{9}=\left(t+\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{47}{36}>0\) なので実数解をもたない．
したがって，\(q=\displaystyle\frac{8}{3}\)
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