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【2021近畿大学・文系】1の立方根の虚数解:ω(オメガ)とは?ωの性質と演習問題

数学(大学入試問題)

【2021近畿大学・文系】

\(\omega\) は \(\omega^3=1\) , \(\omega\not=1\) を満たす複素数とする.

(1) 実数 \(a\) , \(b\) に対して \(\omega^2+4\omega+5=a\omega+b\) が成り立つとき,\(a\) , \(b\) の値を求めよ.

(2) 実数 \(c\) , \(d\) に対して \(\displaystyle\frac{\omega^2+4\omega+5}{\omega+2}=c\omega+d\) が成り立つとき,\(c\) , \(d\) の値を求めよ.

(3) 自然数 \(n\) に対して,\(I_{n}=\omega^{2n}+\omega^{n}+1\) とする.

( ⅰ ) \(I_{99}\) , \(I_{100}\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}{I_{k}}\) を求めよ.

( ⅱ ) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}^2}≧2021\) となる最小の自然数 \(n\) を求めよ.

(4) 実数 \(p\) , \(q\) に対して \(p<q\) , \(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) , \((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)=\displaystyle\frac{7}{3}\) が成り立つとき,\(q\) の値を求めよ.

\(1\) の立方根: \(\omega\) (オメガ)とは?

\(\omega\) とは?

\(1\) の立方根 ( \(3\) 乗根 ) のうち,虚数解の \(1\) つを \(\omega\) (オメガ) と表す.

\(\omega\) の性質

\(3\) つの性質

1.\(\omega^3=1\) 

2.\(\omega^2+\omega+1=0\) 

3.周期性をもつ( \(1\) , \(\omega\) , \(\omega^2\) を繰り返す )

《証明》

\(x^3=1\) ・・・①

\((x-1)(x^2+x+1)=0\)

\(x-1=0\) または \(x^2+x+1=0\) ・・・②

\(x = 1\) , \(\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)

よって,\(1\) の立方根 ( \(3\) 乗根 ) のうち,虚数解の \(1\) つを \(\omega\) (オメガ) と表すとき

\(\omega=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\) または \(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)

値を求めましたが,

 \(\omega\) の具体的な値はさほど重要ではありません!

ここで,\(x=\omega\) は①,②の解であるから

\(\omega^3=1\) , \(\omega^2+\omega+1=0\) が成り立つ.

上で求めた \(\omega\) の \(2\) つの性質は

次数を下げることを目的として利用しましょう!

特に,\(\omega^2+\omega+1=0\) は,

\(\omega^2=-\omega-1\) と代入することで,

\(2\) 次式を \(1\) 次式に次数下げることができます!

また性質より , \(\omega^3=1\)

\(\omega^4=\omega\cdot\omega^3=\omega\)

\(\omega^5=\omega^2\cdot\omega^3=\omega^2\)

\(\omega^6=\left(\omega^3\right)^2=1\)

\(\omega^7=\omega\cdot\left(\omega^3\right)^2=\omega\)

\(\omega^8=\omega^2\cdot\left(\omega^3\right)^2=\omega^2\)

\(\omega^9=\left(\omega^3\right)^3=1\)

・・・・・

自然数 \(n\) を用いて

\(\omega^{3n-2}=\omega\) ,\(\omega^{3n-1}=\omega^2\) ,\(\omega^{3n}=1\)

となり,\(1\) , \(\omega\) , \(\omega^2\) を繰り返す.

解答・解説

(1)解答・解説

(1) 実数 \(a\) , \(b\) に対して \(\omega^2+4\omega+5=a\omega+b\) が成り立つとき,\(a\) , \(b\) の値を求めよ.

\(\omega^2+\omega+1=0\) より \(\omega^2=-\omega-1\) であるから

\((-\omega-1)+4\omega+5=a\omega+b\)

\(\iff\) \((a-3)\omega+(b-4)=0\)

\(a-3\) , \(b-4\) は実数で,\(\omega\) は虚数であるから \(a=3\) , \(b=4\)

(2)解答・解説

(2) 実数 \(c\) , \(d\) に対して \(\displaystyle\frac{\omega^2+4\omega+5}{\omega+2}=c\omega+d\) が成り立つとき,\(c\) , \(d\) の値を求めよ.

(1)より \(\displaystyle\frac{3\omega+4}{\omega+2}=c\omega+d\)

分母をはらうと

\(3\omega+4=(\omega+2)(c\omega+d)\)

\(3\omega+4=c\omega^2+(2c+d)\omega+2d\)

\(\omega^2=-\omega-1\) を代入して式を整理すると

\((c+d-3)\omega+(-c+2d-4)=0\)

\(c+d-3\) , \(-c+2d-4\) は実数で,\(\omega\) は虚数であるから

\(c+d-3=0\) , \(-c+2d-4=0\)

\(c=\displaystyle\frac{2}{3}\) , \(d=\displaystyle\frac{7}{3}\)

(3)解答・解説

(3) 自然数 \(n\) に対して,\(I_{n}=\omega^{2n}+\omega^{n}+1\) とする.

( ⅰ ) \(I_{99}\) , \(I_{100}\) , \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}{I_{k}}\) を求めよ.

( ⅱ ) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}^2}≧2021\) となる最小の自然数 \(n\) を求めよ.

\(I_{1}=\omega^2+\omega+1=0\)

\(I_{2}=\omega^4+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1=0\)

\(I_{3}=\omega^6+\omega^3+1=1+1+1=3\) であり,

\(I_{n+3}=\omega^{2(n+3)}+\omega^{n+3}+1=\omega^{2n}\cdot\omega^6+\omega^{n}\cdot\omega^3+1=\omega^{2n}+\omega^{n}+1=I_{n}\)

したがって,\(I_{n}\) は \(0\) , \(0\) , \(3\) を繰り返す.

( ⅰ ) \(I_{99}=I_{3\times 33}=3\) , \(I_{100}=I_{3\times 33+1}=0\)

また,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}=3\times 33=99}\)

( ⅱ ) \(I_{k}^2\) ( \(k\) は自然数 ) は \(0\) , \(0\) , \(9\) を繰り返すから,

\(1\) 〜 \(n\) の中の \(3\) の倍数の個数を \(N\) とすると,

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{I_{k}^2}=9N≧2021\)

よって,\(N≧\displaystyle\frac{2021}{9}=224.5\cdots\) であるから,

求める最小の \(n\) は \(N=225\) のとき \(n=225\times 3=675\)

(4)解答・解説

(4) 実数 \(p\) , \(q\) に対して \(p<q\) , \(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) , \((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)=\displaystyle\frac{7}{3}\) が成り立つとき,\(q\) の値を求めよ.

\((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)\) を展開し,

\(\omega^3=1\) , \(\omega^2=-\omega-1\) を代入してまとめると,

\((1+p\omega+q\omega^2)(1+q\omega+p\omega^2)=p^2+q^2-pq-p-q+1\)

ここで

\(p^2+q^2-pq-p-q+1=(p+q)^2-3pq-(p+q)+1\) であり

\(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) より

\(p^2+q^2-pq-p-q+1=(p+q)^2-(p+q)-\displaystyle\frac{29}{3}\)

与式より

\((p+q)^2-(p+q)-\displaystyle\frac{29}{3}=\displaystyle\frac{7}{3}\)

\((p+q)^2-(p+q)-12=0\)

\(\left\{(p+q)-4\right\}\left\{(p+q)+3\right\}=0\)

よって,\(p+q = 4 , -3\)

これと \(pq=\displaystyle\frac{32}{9}\) より

\(p\) , \(q\) は \(t\) の \(2\) 次方程式

\(t^2-4t+\displaystyle\frac{32}{9}=0\) ・・・③

\(t^2+3t+\displaystyle\frac{32}{9}=0\) ・・・④

の解となる.

③のとき

\(\left(t-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\left(t-\displaystyle\frac{8}{3}\right)=0\)

\(p<q\) より \(q=\displaystyle\frac{8}{3}\)

④のとき

\(t^2+3t+\displaystyle\frac{32}{9}=\left(t+\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{47}{36}>0\) なので実数解をもたない.

したがって,\(q=\displaystyle\frac{8}{3}\)

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