立方体の色塗り問題｜６色、５色、４色での塗り方(円順列、じゅず順列)

【琉球大学】

立方体の各面に，隣り合った面の色は異なるように色を塗りたい．ただし，立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．このとき，次の問に答えよ．

(１)　異なる \(6\) 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか．

(２)　異なる \(5\) 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか．

(３)　異なる \(4\) 色をすべて使って塗る方法は何通りあるか．

円順列とじゅず順列

回転して一致するものは一通りとして考える並べ方のことです！

異なる \(n\) 個のものの円順列の総数は，\(\displaystyle\frac{_{n}P_{n}}{n}=(n-1)!\)

円順列に加えて，裏返して一致するものは一通りとして考える並べ方のことです！

異なる \(n\) 個のもののじゅず順列の総数は，\(\displaystyle\frac{(n-1)!}{2}\)

異なる \(6\) 色のうち，任意の \(1\) 色を立方体の任意の \(1\) つの面に塗る．

その面の反対側の面に塗る色の選び方は，\(_{5}C_{1}=5\) 通り

残りの \(4\) つの側面を残りの \(4\) 色で塗る方法は，異なる \(4\) 個のものの円順列の総数に等しいので，

\((4-1)!=6\) 通り

よって，\(5\times 6=30\) 通り

ある \(1\) 色を \(2\) つの面に塗る(向かい合う \(2\) 面)

この色の選び方は \(_{5}C_{1}=5\) 通り

残りの \(4\) つの側面を残りの \(4\) 色で塗る方法は，異なる \(4\) 個のもののじゅず順列の総数に等しいので，

\(\displaystyle\frac{(4-1)!}{2}=3\) 通り

よって，\(5\times 3=15\) 通り

\(2\) 色を \(2\) 組の向かい合う面に塗るので，この \(2\) 色の選び方は

\(_{4}C_{2}=6\) 通り

残りの \(2\) つの面を残りの \(2\) 色で塗る方法は \(1\) 通り

よって，\(6\times 1=6\) 通り