スポンサーリンク

【2022久留米大学・医学部(後期)】15の20乗の桁数,最高位から2桁の数

2022年入試問題

【2022久留米大学・医学部(後期)】

\(\log_{10}{2}=0.3010\) , \(\log_{10}{3}=0.4771\) , \(\log_{10}{11}=1.041\) , \(\log_{10}{17}=1.230\) とするとき,

(1) \(\log_{10}{5}\) の値を求めよ.また,\(15^{20}\) の桁数を求めよ.

(2) \(\log_{10}{34}\) の値を求めよ.\(15^{20}\) の最高位から \(2\) 桁の数を求めよ.

ただし,「最高位から \(2\) 桁の数」とは,\(1234\) ならば「\(12\)」と答え,\(2021\) ならば「\(20\)」と答えるとする.

考え方

桁数問題について

桁数を求める問題は,常用対数の問題において頻出です!

【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方」に具体例を踏まえて解説していますので,心配な方は参考にしてください!

【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方
常用対数(底を10とする対数)において頻出の、3問(桁数、最高位、一の位の数)のまとめ。 具体例を踏まえながら、考え方を身につけましょう!

最高位から \(2\) 桁の数について

具体的な数字でイメージを掴みましょう!

例えば、

「 2021 」の最高位から \(2\) 桁の数は「 20 」です.

\(2021=2.021\times 10^3=A\times 10^3\) とおくと、

\(A\) がどのくらいの数か分かれば、最高位から \(2\) 桁の数は求まります!

2021 において、\(2.0<A<2.1\) であるから、最高位から \(2\) 桁は「 20 」とわかります!

解答・解説

(1)\(15^{20}\) の桁数

\(log_{10}5=log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}=log_{10}10-log_{10}2=1-0.3010=\)\(0.6990\)

\(log_{10}5\) はよく利用します.計算の仕方も覚えておきましょう!

また,\(\log_{10}{15^{20}}=20\times \log_{10}{15}=20\times (\log_{10}{3}+\log_{10}{5})\) より

\(\log_{10}{15^{20}}=20\times (0.4771+0.699)=23.52\)

よって,\(15^{20}=10^{23.52}\) ・・・①

①より,\(10^{23}<15^{20}<10^{24}\) であるから

\(15^{20}\) は \(24\) 桁

(2)\(15^{20}\) の最高位から \(2\) 桁の数

\(\log_{10}{3.4}=\log_{10}{\displaystyle\frac{17}{5}}=\log_{10}{17}-\log_{10}{5}=1.230-0.6990=\)\(0.531\)

また,

\(\log_{10}{3.3}=\log_{10}{\displaystyle\frac{3\times 11}{10}}=0.5181\)

であるから,\(10^{0.5181}=3.3\) , \(10^{0.531}=3.4\)

①より,\(15^{20}=10^{23}\times 10^{0.52}\) なので

\(3.3<10^{0.52}<3.4\)

よって,\(3.3\times 10^{23}<15^{20}<3.4\times 10^{23}\)

したがって,\(15^{20}\) の最高位から \(2\) 桁の数は \(33\) 

【2021上智大学・理工】7の35乗は何桁?|常用対数(桁数)・近似値
頻出・常用対数の近似値の評価、桁数問題。数学Ⅱ指数・対数関数。2次試験対策。GMRCH、関関同立対策。
【2020お茶の水女子大学】3^53-2^mの絶対値が最小となる整数m|桁数・最高位・1の位
【頻出】常用対数を利用した、桁数・最高位・一の位の求め方。また|3^53-2^m|が最小となる整数m。不等式による評価。2次試験対策。過去問演習。良問。

コメント

タイトルとURLをコピーしました