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【2021東京大学・理科・第2問】複素数平面|3変数で定まる平面上の点の存在領域

複素数平面

【2021東京大学・理科・第2問】

複素数 \(a\),\(b\),\(c\) に対して整式 \(f(z)=az^2+bz+c\) を考える. \(i\) を虚数単位とする.

(1) \(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\) を複素数とする.\(f(0)=\alpha\),\(f(1)=\beta\),\(f(i)=\gamma\) が成り立つとき,\(a\),\(b\),\(c\) をそれぞれ \(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\) で表せ.

(2) \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(i)\) がいずれも \(1\) 以上 \(2\) 以下の実数であるとき, \(f(2)\) のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ.

解答・解説

(1)

\(f(0)=\alpha\) より,\(c=\alpha\) ・・・①

\(f(1)=\beta\) より,\(a+b+c=\beta\)

①より,\(a+b=-\alpha+\beta\) ・・・②

\(f(i)=\gamma\) より,\(-a+ib+c=\gamma\)

①より,\(-a+ib=-\alpha+\gamma\) ・・・③

② \(\times i-\) ③より

\((1+i)a=(1-i)\alpha+i\beta-\gamma\)

\(a=\displaystyle\frac{(1-i)\alpha+i\beta-\gamma}{1+i}\)

分母分子に \(1-i\) をかけて式を整理すると

\(a=-i\alpha+\displaystyle\frac{1+i}{2}\beta-\displaystyle\frac{1-i}{2}\gamma\)

また,②+③より

\((1+i)b=-2\alpha+\beta+\gamma\)

\(b=\displaystyle\frac{-2\alpha+\beta+\gamma}{1+i}\)

よって,\(b=(-1+i)\alpha+\displaystyle\frac{1-i}{2}\beta+\displaystyle\frac{1-i}{2}\gamma\)

以上より,

\(\begin{cases} a=-i\alpha+\displaystyle\frac{1+i}{2}\beta-\displaystyle\frac{1-i}{2}\gamma \\b=(-1+i)\alpha+\displaystyle\frac{1-i}{2}\beta+\displaystyle\frac{1-i}{2}\gamma\\c=\alpha \end{cases}\)

(2)

\(f(2)=4a+2b+c\) に (1) の結果を代入すると

\(f(2)=4\left(-i\alpha+\displaystyle\frac{1+i}{2}\beta-\displaystyle\frac{1-i}{2}\gamma\right)+2\left\{(-1+i)\alpha+\displaystyle\frac{1-i}{2}\beta+\displaystyle\frac{1-i}{2}\gamma\right\}+\alpha\)

式を整理すると

\(f(2)=(-1-2i)\alpha+(3+i)\beta+(-1+i)\gamma\)

ここで,\(z_{1}=-1-2i\),\(z_{2}=3+i\),\(z_{3}=-1+I\) とおくと,

\(f(2)=\alpha z_{1}+\beta z_{2}+\gamma z_{3}\)

まず初めに,点 \(\alpha z_{1}+\beta z_{2}\) について考える.

\(1≦\alpha≦2\),\(1≦\beta≦2\) より,

点 \(\alpha z_{1}+\beta z_{2}\) の存在する領域は,\(4\) 点 \(z_{1}+z_{2}\), \(2z_{1}+z_{2}\), \(z_{1}+2z_{2}\), \(2z_{1}+2z_{2}\) を頂点とする平行四辺形の周および内部.(下図の赤斜線部)

であるから,\(f(2)\) の存在する領域は,点 \(\alpha z_{1}+\beta z_{2}\) の存在する領域を \(\gamma z_{3}\) だけ動かした領域である.

\(1≦\gamma≦2\) であるので,求める領域は下図の青斜線部の周および内部となる.

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