【2022大阪医科薬科大学・医学部】黒石3個と白石7個の並び方に関する順列・確率

【2022大阪医科薬科大学・医学部・第１問】

黒石 \(3\) 個と白石 \(7\) 個が袋に入っている．袋から \(1\) 個ずつ \(10\) 個の石を取り出して一列に並べる．

(１)　黒と白の合計 \(10\) 個の石の相異なる並び方の総数を求めよ．

(２)　黒石が \(3\) 個連続する確率を求めよ．

(３)　並べた列が「 \(2\) つ以上の連続した白石の両端に黒石がある」という部分を含む確率を求めよ．

解答・解説

黒石 \(3\) 個と白石 \(7\) 個を一列に並べる総数は

\(\displaystyle\frac{10!}{3!7!}=120\) 通り

黒石 \(3\) 個を \(1\) つのかたまりとして考える．

つまり，黒石 \(3\) 個のかたまりと，白石 \(7\) 個の \(8\) 個を一列に並べるときを考え

\(\displaystyle\frac{8!}{7!}=8\) 通り

したがって求める確率は，\(\displaystyle\frac{8}{120}=\displaystyle\frac{1}{15}\)

余事象を考える．

黒石と黒石の間に白石が \(0\) 個または \(1\) 個のみ存在するときを考える．

( ⅰ )　黒石と黒石の間に白石が \(0\) 個のとき

つまり黒石が \(3\) 個連続するとき(２)より，\(\displaystyle\frac{8}{120}\)

( ⅱ )　黒石と黒石の間に白石が \(1\) 個のとき

(ア)「黒白黒黒」または「黒黒白黒」のとき

これらの \(4\) 個を \(1\) つのかたまりとして考え並べればよいので \(\displaystyle\frac{7!}{6!}=7\) 通り

「黒白黒黒」のときも「黒黒白黒」のとき同数ずつあるので，

よって，\(\displaystyle\frac{7}{120}\times 2=\displaystyle\frac{14}{120}\)

(イ)「黒白黒白黒」のとき

これらの \(5\) 個を \(1\) つのかたまりとして考え並べればよいので \(\displaystyle\frac{6!}{5!}=6\) 通り

よって，\(\displaystyle\frac{6}{120}\)

以上から，

\(\displaystyle\frac{8}{120}+\displaystyle\frac{14}{120}+\displaystyle\frac{6}{120}=\displaystyle\frac{28}{120}=\displaystyle\frac{7}{30}\)

したがって求める確率は，\(1-\displaystyle\frac{7}{30}=\displaystyle\frac{23}{30}\)