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p,p+4が素数のとき,(p+1)(p+2)(p+3)は120の倍数【2021富山大学】整数問題

数学(大学入試問題)

【2021富山大学】

\(p\) は \(3\) よりも大きい素数であり,\(p+4\) も素数であるとする.

(1) \(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\) であることを示せ.

(2) \(p+2\) は \(3\) の倍数であることを示せ.

(3) \((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(120\) の倍数であることを示せ.

4以上の素数は \(6m\pm 1\)

\(4\) 以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される
《注意》逆は成立しない.(反例) \(m=4\) のとき、\(6m+1=25\) と素数ではない.
【考え方】
自然数 \(m\) を用いて、4以上のすべての素数は
  1. \(6m-2\)
  2. \(6m-1\)
  3. \(6m\)
  4. \(6m+1\)
  5. \(6m+2\)
  6. \(6m+3\)
のいずれかの中に含まれているが、

1.\(6m-2=2(3m-1)\) となり2の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない

3.\(6m\) は6の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない

5.\(6m+2=2(3m+1)\) となり2の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない

6.\(6m+3=3(2m+1)\) となり3の倍数であるから、4以上の素数はこの中に存在しない

よって、4以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される

【整数問題・素数】4より大きい素数は6m±1の一部(京大、奈良女子大学過去問演習)
「4より大きい素数ならば、6で割った余りは1または5の一部」学校の授業では習わないが、とても大切な素数の性質について、京都大学、奈良女子大学の過去問を使って考え方を解説。 2006・京都大学理系、2021奈良女子大学過去問。

解答

(1) \(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\)

\(p\) は \(3\) より大きい素数であるから,\(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\) または \(5\) である.

つまり自然数 \(m\) を用いて,\(p=6m+1\) , \(6m+5\) とおける.

ここで,\(p=6m+5\) のとき \(p+4=6m+9=3(2m+3)\) となり \(3\) の倍数.

したがって,\(p\) , \(p+4\) がともに素数となるのは,\(p=6m+1\) のときである.

よって \(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\) である

(2) \(p+2\) は \(3\) の倍数

(1)より自然数 \(m\) を用いて,\(p=6m+1\) ・・・①とおける.

\(p+2=6m+3=3(2k+1)\)

\(2k+1\) は整数であるから,\(p+2\) は \(3\) の倍数である

(3) \((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(120\) の倍数

①より,

\((p+1)(p+2)(p+3)=(6m+2)(6m+3)(6m+4)\)

\(=12(3m+1)(2m+1)(3m+2)\)

ここまでで \(12\) の倍数であることが分かったので,

(3m+1)(2m+1)(3m+2) が \(10\) の倍数

つまり, \(2\) かつ \(5\) の倍数であることを示せば良い!

\((3m+1)(3m+2)\) は連続する \(2\) つの整数の積であるから,\(2\) の倍数となる.

よって整数 \(k\) を用いて

\((3m+1)(3m+2)=2k\) とおける.

よって,\((p+1)(p+2)(p+3)=24k(2m+1)\) ・・・②

ここまでで \(24\) の倍数であることが分かったので,

あとは \(5\) の倍数であることを示せば良い!

ここで,\(p\) , \(p+1\) , \(p+2\) , \(p+3\) , \(p+4\) は連続する \(5\) つの整数であるから,いずれかは \(5\) の倍数となる

\(p=5\) とすると,\(p+4=9\) となり素数でないため \(p>5\)

したがって,\(p\) , \(p+4\) は \(5\) より大きい素数であるから,\(5\) の倍数にならない.

つまり,\(p+1\) , \(p+2\) , \(p+3\) のいずれかが \(5\) の倍数となる.

したがって,\((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(5\) の倍数 ・・・③

②,③より,\(24\) と \(5\) は互いに素であるから,

\((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(120\) の倍数.

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