【2021富山大学】
\(p\) は \(3\) よりも大きい素数であり，\(p+4\) も素数であるとする．
(１) \(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\) であることを示せ．
(２) \(p+2\) は \(3\) の倍数であることを示せ．
(３) \((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(120\) の倍数であることを示せ．
４以上の素数は \(6m\pm 1\)
- \(6m-2\)
- \(6m-1\)
- \(6m\)
- \(6m+1\)
- \(6m+2\)
- \(6m+3\)
１．\(6m-2=2(3m-1)\) となり２の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない
３．\(6m\) は６の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない
５．\(6m+2=2(3m+1)\) となり２の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない
６．\(6m+3=3(2m+1)\) となり３の倍数であるから、４以上の素数はこの中に存在しない
よって、４以上の素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される
解答
(１) \(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\)
\(p\) は \(3\) より大きい素数であるから，\(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\) または \(5\) である．
つまり自然数 \(m\) を用いて，\(p=6m+1\) , \(6m+5\) とおける．
ここで，\(p=6m+5\) のとき \(p+4=6m+9=3(2m+3)\) となり \(3\) の倍数．
したがって，\(p\) , \(p+4\) がともに素数となるのは，\(p=6m+1\) のときである．
よって \(p\) を \(6\) で割った余りは \(1\) である
(２) \(p+2\) は \(3\) の倍数
(１)より自然数 \(m\) を用いて，\(p=6m+1\) ・・・①とおける．
\(p+2=6m+3=3(2k+1)\)
\(2k+1\) は整数であるから，\(p+2\) は \(3\) の倍数である
(３) \((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(120\) の倍数
①より，
\((p+1)(p+2)(p+3)=(6m+2)(6m+3)(6m+4)\)
\(=12(3m+1)(2m+1)(3m+2)\)
ここまでで \(12\) の倍数であることが分かったので，
(3m+1)(2m+1)(3m+2) が \(10\) の倍数
つまり， \(2\) かつ \(5\) の倍数であることを示せば良い！
\((3m+1)(3m+2)\) は連続する \(2\) つの整数の積であるから，\(2\) の倍数となる．
よって整数 \(k\) を用いて
\((3m+1)(3m+2)=2k\) とおける．
よって，\((p+1)(p+2)(p+3)=24k(2m+1)\) ・・・②
ここまでで \(24\) の倍数であることが分かったので，
あとは \(5\) の倍数であることを示せば良い！
ここで，\(p\) , \(p+1\) , \(p+2\) , \(p+3\) , \(p+4\) は連続する \(5\) つの整数であるから，いずれかは \(5\) の倍数となる．
\(p=5\) とすると，\(p+4=9\) となり素数でないため \(p>5\)
したがって，\(p\) , \(p+4\) は \(5\) より大きい素数であるから，\(5\) の倍数にならない．
つまり，\(p+1\) , \(p+2\) , \(p+3\) のいずれかが \(5\) の倍数となる．
したがって，\((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(5\) の倍数 ・・・③
②，③より，\(24\) と \(5\) は互いに素であるから，
\((p+1)(p+2)(p+3)\) は \(120\) の倍数．
コメント