2022大阪大学・文・第２問【確率】さいころ・最小公倍数・最大公約数

考え方・解答

（１）

\(L_{2}=5\) のとき

つまり、さいころを \(2\) 回投げたときの目の最小公倍数が \(5\) のとき

\((X_{1} , X_{2})=(1,5),(5,1),(5,5)\) の \(3\) 通り

したがって求める確率は、\(\displaystyle\frac{3}{6^2}=\displaystyle\frac{1}{12}\)

（２）

\(L_{n}\) が素数の場合を考える．

\(n\) 個のさいころの目の最小公倍数が素数となるのは、

『\(L_{n} = 2 , 3 , 5\)』のいずれか．

\(L_{n} = 2\) のとき

\(n\) 個のさいころの目のすべてが、\(1\) または \(2\) のいずれかで、\(2\) は少なくとも \(1\) 回でるときである．

したがって、\(\left(\displaystyle\frac{2}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\)

\(L_{n} = 3 , 5\) のとき

\(L_{n} = 2\) のときと同様に考えることができるので、それぞれ\(\left(\displaystyle\frac{2}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\)

したがって求める確率は、

\(1-3\left\{\left(\displaystyle\frac{2}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\right\}=1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n-1}+3\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\)

（３）

（２）と同様に、余事象で考える．

最大公約数の \(G_{n}\) が素数となるのは、

『\(G_{n} = 2 , 3 , 5\)』のいずれか．

（ア）\(G_{n} = 2 \) のとき

\(n\) 個のさいころの目のすべてが、\(2\) または \(4\) または \(6\) のいずれか．

ただし、すべてが \(4\) となるときと、すべてが \(6\) となるときは除く．

よって、\(\left(\displaystyle\frac{3}{6}\right)^n-2\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\)

（イ）\(G_{n} = 3 \) のとき

\(n\) 個のさいころの目のすべてが、\(3\) または \(6\) のいずれか．

ただし、すべてが \(6\) となるときは除く．

よって、\(\left(\displaystyle\frac{2}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\)

（ウ）\(G_{n} = 5 \) のとき

\(n\) 個のさいころの目のすべてが、\(5\) のとき

よって、\(\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\)

（ア）〜（ウ）より

\(1-\left\{\left(\displaystyle\frac{3}{6}\right)^n-2\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n+\left(\displaystyle\frac{2}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n+\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\right\}\\=1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^n+2\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n\)