【2022大阪大学・理】
超有名問題です！阪大志望の人に関わらず、２次試験で数学を利用する人は覚えても良いと思えるぐらい様々な大学で出題される問題になりますので、しっかりと解法の流れを身に付けましょう！
考え方・解答
(１)
\(\alpha=\displaystyle\frac{2\pi}{7}\) より
\(7\alpha=2\pi\)
\(4\alpha=2\pi-3\alpha\) であるから、
\(\cos 4\alpha=\cos (2\pi-3\alpha)=\cos 3\alpha\)
(２)
2倍角の公式
\(\begin{align*} \sin2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\[5pt] \cos2\alpha &= \cos^2\alpha – \sin^2\alpha \\[5pt] &= 1-2\sin^2\alpha \\[5pt] &= 2\cos^2\alpha -1 \\[5pt] \tan2\alpha &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}\)
3倍角の公式
\(\begin{align*} \sin3\alpha &= 3\sin\alpha – 4\sin^3\alpha \\[5pt] \cos3\alpha &= 4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha \\[5pt] \end{align*}\)
\(x=\cos\alpha\) とする．
\(2\) 倍角の公式より、
\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2x^2-1\) ・・・①
\(\cos4\alpha=\cos2\times2\alpha=2\cos^22\alpha-1\) ・・・②
①を②に代入すると、
\(\cos4\alpha=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1\)
また、\(3\) 倍角の公式から、
\(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha=4x^3-3x\)
(１)より、
\(8x^4-8x^2+1=4x^3-3x\)
\(8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0\)
\(x=1\) を代入すると成立するので、
\((x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0\)
\(x=\cos\alpha=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{7}\not=1\) より、
\(8x^3+4x^2-4x-1=0\)
ゆえに、\(f(\cos\alpha)=0\) が成立する．
(３)
この問題を経験したことない方は、まずは下記のリンクの【2001神戸大学・理】の問題に取り組んでみてください．今回の(３)の問題の類題です．
\(8x^3+4x^2-4x-1=0\)
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