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【頻出】2022大阪大学・理・第2問|cos2π/7 は無理数

数学(大学入試問題)

【2022大阪大学・理】

 

超有名問題です!阪大志望の人に関わらず、2次試験で数学を利用する人は覚えても良いと思えるぐらい様々な大学で出題される問題になりますので、しっかりと解法の流れを身に付けましょう!

考え方・解答

(1)

\(\alpha=\displaystyle\frac{2\pi}{7}\) より

\(7\alpha=2\pi\)

☆ \(7\alpha=2\pi \iff 4\alpha=2\pi-3\alpha\)
言われたら当たり前だが、一度経験したことがないと意外と思いつかない式変形!

\(4\alpha=2\pi-3\alpha\) であるから、

\(\cos 4\alpha=\cos (2\pi-3\alpha)=\cos 3\alpha\)

(2)

2倍角の公式

\(\begin{align*} \sin2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\[5pt] \cos2\alpha &= \cos^2\alpha – \sin^2\alpha \\[5pt] &= 1-2\sin^2\alpha \\[5pt] &= 2\cos^2\alpha -1 \\[5pt] \tan2\alpha &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}\)

3倍角の公式

\(\begin{align*} \sin3\alpha &= 3\sin\alpha – 4\sin^3\alpha \\[5pt] \cos3\alpha &= 4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha \\[5pt] \end{align*}\)

\(x=\cos\alpha\) とする.

\(2\) 倍角の公式より、

\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2x^2-1\) ・・・①

\(\cos4\alpha=\cos2\times2\alpha=2\cos^22\alpha-1\) ・・・②

①を②に代入すると、

\(\cos4\alpha=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1\)

また、\(3\) 倍角の公式から、

\(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha=4x^3-3x\)

(1)より、

\(8x^4-8x^2+1=4x^3-3x\)

\(8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0\)

\(x=1\) を代入すると成立するので、

\((x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0\)

\(x=\cos\alpha=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{7}\not=1\) より、

\(8x^3+4x^2-4x-1=0\)

ゆえに、\(f(\cos\alpha)=0\) が成立する.

(3)

この問題を経験したことない方は、まずは下記のリンクの【2001神戸大学・理】の問題に取り組んでみてください.今回の(3)の問題の類題です.

【頻出】有理数の解をもつ⇒その解は整数|2001神戸大学・理
有理数、整数解に関する有名頻出問題。互いに素、背理法を用いて証明。 数学A整数問題2次試験対策。神戸大学過去問

 

\(8x^3+4x^2-4x-1=0\)

\(\iff (2x)^3+(2x)^2-2(2x)-1=0\)
\(t=2x=2\cos\alpha\) とおくと、
\(t^3+t^2-2t-1=0\) ・・・③
背理法で考える.
\(\cos \alpha\) が有理数であると仮定すると、\(t\) も有理数である.
互いに素な整数 \(m\)、\(n\) を用いて、
\(t=\displaystyle\frac{n}{m}\) とおける.(ただし、\(m>0\) とする.)
③より、
\(\left(\displaystyle\frac{n}{m}\right)^3+\left(\displaystyle\frac{n}{m}\right)^2-2\left(\displaystyle\frac{n}{m}\right)-1=0\)
\(n^3=-m(n^2-2mn-m^2)\)
\(m\)、\(n\) は互いに素であるから、\(m=1\)
ゆえに \(t=2\cos\alpha\) は整数となる ・・・④
ここで、\(0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{3}\) より、
\(\displaystyle\frac{1}{2}<\cos\alpha<1\)
\(1<2\cos\alpha<2\) となり、これは④に矛盾する.
したがって、\(\cos\alpha\) は無理数である.

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