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【2018センター試験】数学ⅡB:第4問平面ベクトル|三角形の内分点、一次独立、内積

数学(大学入試問題)

【2018数学ⅡB:第4問ベクトル】

(1)(2)問題と解答・解説

(1)(2)解答・解説《ア〜カ》

(1) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FA}\)

\(=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\) ・・・《ア:②》

より,

\(\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=\left|\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right|^2\)

\(=\left|\overrightarrow{p}\right|^2-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\) ・・・①《イ:2》

(2) \(D\) は \(AB\) を \(1 : 3\) に内分する点より

\(\overrightarrow{FD}=\displaystyle\frac{3\overrightarrow{FA}+1\overrightarrow{FB}}{1+3}\)

\(=\displaystyle\frac{3}{4}\overrightarrow{p}+\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{q}\) ・・・②《ウ〜カ》

(3)問題と解答・解説

(3)解答・解説《キ〜チ》

\(\overrightarrow{FD}=s\overrightarrow{r}\) であるから,②により

\(\displaystyle\frac{3}{4}\overrightarrow{p}+\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{q}=s\overrightarrow{r}\)

よって,\(\overrightarrow{q}=-3\overrightarrow{p}+4s\overrightarrow{r}\) ・・・③《キクケ》

また,\(\overrightarrow{FE}=t\overrightarrow{p}\) であるから

\((1-a)\overrightarrow{q}+a\overrightarrow{r}=t\overrightarrow{p}\)

\(0<a<1\) より \(1-a\not=0\) であるから

よって, \(\overrightarrow{q}=\displaystyle\frac{t}{1-a}\overrightarrow{p}-\displaystyle\frac{a}{1-a}\overrightarrow{r}\) ・・・④《コサシ》

\(\overrightarrow{p}\) , \(\overrightarrow{r}\) は一次独立なベクトルであるから,③,④より

\(-3=\displaystyle\frac{t}{1-a}\) かつ \(4s=\displaystyle\frac{-a}{1-a}\)

したがって,\(s=\displaystyle\frac{-a}{4(1-a)}\) , \(t=-3(1-a)\) ・・・《ス〜チ》

(4)問題と解答・解説

(4)解答・解説《ツ〜ヌ》

\(\left|\overrightarrow{p}\right|=1\) のとき

①より,\(\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=1-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\)

また,\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{FE}-\overrightarrow{FB}=t\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\)

よって,\(\overrightarrow{BE}=-3(1-a)\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\) より

\(\left|\overrightarrow{BE}\right|^2=9(1-a)^2\cdot\left|\overrightarrow{p}\right|^2+6(1-a)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\)

\(=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\) ・・・《ツテ》

\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AE}\right|\) のとき

\(1-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\)

\(\left\{-2-6(1-a)\right\}\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=9(1-a)^2-1\)

\(2(3a-4)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=(3a-4)(3a-2)\)

\(0<a<1\) より \(3a-4\not=0\) であるから,

\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=\displaystyle\frac{3a-2}{2}\) ・・・《ト〜ヌ》

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