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【奈良県立医科大学】a^(p-1)-1=p^k(aは2以上の整数、pは2より大きい素数)

数学(大学入試問題)

【奈良県立医科大学】

\(a\) を \(2\) 以上の整数、 \(p\) を \(2\) よち大きい素数とする.

ある正整数 \(k\) に対して等式

$$a^{p-1}-1=p^k$$

が成り立つのは、\(a=2\)、\(p=3\) の場合に限ることを示せ.

整数問題のPoint

整数問題は3つのアプローチで!

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

素数は積の形に弱い!

(素数) = (積の形) に変形できれば、素数の約数は \(1\) か自分自身しかないため、大きく可能性を絞ることができます!

1990京都大学【整数問題・素数】B=60、bは整数、a、cは素数のとき、△ABCは正三角形
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2より大きい素数、3より大きい素数

入試問題において、素数の中でも \(2\) と \(3\) は特別扱いされることが非常に多い!

そこで、\(2\) より大きい素数 ( \(2\) を除く素数 ) 、 \(3\) より大きい素数 ( \(2\) と \(3\) を除く素数 ) という設定・条件の問題はたくさんあります。そのような問題を見たら、次の条件を考えてみましょう!

・\(2\) より大きい素数 ⇒ \(2m+1\) の形で表される

・\(3\) より大きい素数 ⇒ \(6m-1 , 6m+1\) の形で表される
《注意》逆は成立しない.
(反例) \(m=4\) のとき、\(2m+1=9\) 、 \(6m+1=25\) と素数ではない.
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解答

\(p\) は \(2\) より大きい素数であるから、自然数 \(m\) を用いて、\(p=2m+1\) とおける.

\(a^{p-1}-1=p^k\) より

\(a^{2m}-1=p^k\)

\((a^m+1)(a^m-1)=p^k\)

\(p\) は素数であるから、

\(\begin{cases}a^m+1=p^x\\a^m-1=p^y \end{cases}\) ・・・①

ただし \(x\)、\(y\) は、\(x>y≧0\)、\(x+y=k\) を満たす整数とする

①より差をとると、

\(2=p^x-p^y=p^y(p^{x-y}-1)\) ・・・②

\(p\) は \(2\) より大きい素数であるから、\(y≧1\) とすると \(p^y>3\) となり②が成立しない.
よって、\(y=0\)

このとき①より、\(a^m-1=p^0=1\)

よって、\(a^m=2\) ・・・③

\(a\) は \(2\) 以上の整数なので③を満たすのは、\(a=2\)、\(m=1\)

したがって、\(p=2\times1+1=3\)

逆にこのとき、
\(a^{p-1}-1=p^k\) \(\iff\) \(2^{3-1}-1=2^k\) \(\iff\) \(k=1\)
となり \(k\) は正整数となり条件を満たす.
以上より、\(a^{p-1}-1=p^k\) が成り立つのは、\(a=2\)、\(p=3\)

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