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【2023関西学院大学】2次関数y=-x^2+6x(a≦x≦2a)の最大値と最小値の差が12

2023年入試問題

【2023関西学院大学・全学日程・文系・第1問(1)】

\(a\) を正の実数とし,\(2\) 次関数 \(y=-x^2+6x\) の \(a≦x≦2a\) における最大値を \(M\),最小値を \(m\) とする.

( ⅰ ) \(a=2\) のとき,\(M-m=\)[  ア  ] である.

( ⅱ ) \(M≧0\) であるとき,\(a\) の取りうる値の範囲は [  イ  ] である.

( ⅲ ) \(M-m=12\) のとき,\(a=\)[  ウ  ] である.

解答・解説

( ⅰ ) \(a=2\) のとき,\(M-m\)

\(y=-x^2+6x=-(x-3)^2+9\)

\(a=2\) のとき,\(2≦x≦4\) における最大,最小値は

\(x=3\) のとき,最大値:\(M=9\)

\(x=2,4\) のとき,最大値:\(M=8\)

よって,\(M-m=1\) ・・・[  ア  ]

( ⅱ ) \(M≧0\) であるとき,\(a\) の取りうる値の範囲

\(x≧0\) における \(y=-x^2+6x=-(x-3)^2+9\)

のグラフは右図のようになるので

\(0≦x≦6\) のとき常に \(y≧0\)

よって,\(M≧0\) となるのは,\(0<a≦6\) ・・・[  イ  ]

( ⅲ ) \(M-m=12\) のとき,\(a\) の値

\(0≦x≦6\) における \(y=-x^2+6x\) のグラフは

\(0≦y≦9\) より,\(M-m≦9\) となる.

つまり,\(0<2a≦6\) \(\iff\) \(0<a≦3\) のとき不適.

 

\(a>3\) のとき

\(x=a\) のとき,最大値:\(M=-a^2+6a\)

\(x=2a\) のとき,最大値:\(M=-4a^2+12a\)

\(M-m=(-a^2+6a)-(-4a^2+12a)=3a^2-6a\)

\(M-m=12\) のとき

\(3a^2-6a=12\) \(\iff\) \(a^2-2a-4=0\)

\(a=1\pm\sqrt{5}\)

\(a>3\) より,\(a=1+\sqrt{5}\) ・・・[  ウ  ]

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