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【大阪大学】対数関数で囲まれた領域内の格子点|1
数学(大学入試問題)

【大阪大学】

条件 \(1<x<2^{n+1}\) および \(0<y≦\log_{2}{x}\) を満たす整数 \(x\) , \(y\) を座標とする点 \((x,y)\) の個数を求めよ.

格子点問題の考え方

格子点

⇒ \(x\) or \(y\) 軸に平行な直線ごとにカウントし,総和(Σ)を考える

【格子点】x+y≦n(x,yは0以上の整数)を満たす格子点の個数|2014中央大学
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解答・解説

条件 \(1<x<2^{n+1}\) および \(0<y≦\log_{2}{x}\) を満たす領域において

\(y=k\) ( \(1≦k≦n\) ) 上には

\((2^k,k)\) , \((2^k+1,k)\) ,  \((2^k+2,k)\) , \(\cdots\) , \((2^{n+1}-1,k)\) の

\((2^{n+1}-1)-2^k+1=2^{n+1}-2^k\)  個の格子点がある.

よって,

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(2^{n+1}-2^k)}\)

\(=n\cdot2^{n+1}-\displaystyle\frac{2(2^n-1)}{2-1}\)

\(=(n-1)2^{n+1}+2\)

 

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