【2023北海道大学・理系・第３問】微分・実数解の個数・グラフの利用(定数分離)

解答・解説

(１)

\(f(x)=xe^{-x}\) のとき

\(f^{\prime}(x)=(1-x)e^{-x}\) より

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty\) ，\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0\) より

右図のグラフから，求める異なる実数解の個数は

\(k≦0\) のとき \(1\) 個

\(0<k<\displaystyle\frac{1}{e}\) のとき \(2\) 個

\(k=\displaystyle\frac{1}{e}\) のとき \(1\) 個

\(k>\displaystyle\frac{1}{e}\) のとき \(0\) 個

(２)

\(xye^{-(x+y)}=c\) より

\(xe^{-x}ye^{-y}=c\)

(１)のグラフから \(x>0\)，\(y>0\) のとき

\(0<xe^{-x}≦\displaystyle\frac{1}{e}\)，\(0<ye^{-y}≦\displaystyle\frac{1}{e}\)

よって \(0<xe^{-x}ye^{-y}≦\displaystyle\frac{1}{e^2}\)

等号成立は \(xe^{-x}=\displaystyle\frac{1}{e}\) かつ \(ye^{-y}=\displaystyle\frac{1}{e}\)

よって \((x,y)=(1,1)\)

ゆえに，\(c=\displaystyle\frac{1}{e^2}\) のとき，与式をみたす正の実数 \(x\)，\(y\) の組は \((1,1)\) の \(1\) 組となる．

また，(１)より \(0<xe^{-x}<\displaystyle\frac{1}{e}\) をみたす値を \(1\) つ定めるとき，それに対応する正の実数 \(x\) の値は異なる \(2\) つ存在し，\(y\) についても同様．

よって \(0<xe^{-x}ye^{-y}<\displaystyle\frac{1}{e^2}\) をみたす値を \(1\) つ定めると，それに対応する正の実数 \(x\)，\(y\) の組は複数存在する．

さらに \(xe^{-x}<0,\displaystyle\frac{1}{e^2}<xe^{-x}\) をみたす値を \(1\) つ定めるとき，それに対応する正の実数 \(x\) は存在せず，\(y\) についても同様．

よって \(xe^{-x}ye^{-y}<0,\displaystyle\frac{1}{e^2}<xe^{-x}ye^{-y}\) をみたす値を \(1\) つ定めると，それに対応する正の実数 \(x\)，\(y\) の組は存在しない．

したがって，題意をみたす \(c=\displaystyle\frac{1}{e^2}\)

(３)

\(x>0\)，\(y>0\) のとき

\(xye^{-(x+y)}=\displaystyle\frac{3}{e^4}\)

\(xe^{-x}=\displaystyle\frac{3}{e^4ye^{-y}}\) ・・・①

\(0<xe^{-x}≦\displaystyle\frac{1}{e}\) より

\(0<\displaystyle\frac{3}{e^4ye^{-y}}≦\displaystyle\frac{1}{e}\)

よって \(ye^{-y}≧\displaystyle\frac{3}{e^3}\)

右図から \(y\) のとりうる値の最大値は \(y=3\)

このとき①より \(xe^{-x}=\displaystyle\frac{1}{e}\)

よって \(x=1\)