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【解法3つ紹介】小学生でもわかる不等式の証明|式の意味を理解せよ!

数学(大学入試問題)

【2008お茶の水女子大学】

\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) を正の整数とし、\(\displaystyle\frac{c}{d}<\displaystyle\frac{a}{b}\) とする.

このとき、\(\displaystyle\frac{c}{d}<\displaystyle\frac{a+c}{b+d}<\displaystyle\frac{a}{b}\) が成り立つことを示せ.

式の意味を理解しよう

『 \(A>B\) を示せ』という不等式の証明の王道の解法は、

\(A-B\) を計算して、これが正 ( \(A-B>0\) ) であることを示す.

もちろんそのような王道の解法も1つである.

しかしここでは、ただただ証明できて終わりではなく、この不等式が何を意味するのか、多角的に式の意味を考え、小学生でもわかる証明(説明)方法を3つ紹介します。

解法①は、王道の差をとって正になることの証明

解法②は、図形的なアプローチ

解法③は、小学生に説明する方法

の3つの解答です。

解法①差が正になることの証明

\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) を正の整数とし、\(\displaystyle\frac{c}{d}<\displaystyle\frac{a}{b}\) より

\(ad-bc>0\) ・・・①

\(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}-\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{ad-bc}{(b+d)d}\)

①より、\(\displaystyle\frac{ad-bc}{(b+d)d}>0\) であるから、

\(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}>\displaystyle\frac{c}{d}\)

次に、

\(\displaystyle\frac{a}{b}-\displaystyle\frac{a+c}{b+d}=\displaystyle\frac{ad-bc}{b(b+d)}\)

①より、\(\displaystyle\frac{ad-bc}{b(b+d)}>0\) であるから、

\(\displaystyle\frac{a}{b}>\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\)

したがって題意は示された.

解法②図形的なアプローチ

\(2\) 直線の傾きに注目する.下図より、

図①の三角形の傾きは \(\displaystyle\frac{c}{d}\)、図②の三角形の傾きは \(\displaystyle\frac{a}{b}\)

図③の三角形の傾きは \(\displaystyle\frac{a+c}{b+d}\) であるから、図①〜③より

\(\displaystyle\frac{c}{d}<\displaystyle\frac{a+c}{b+d}<\displaystyle\frac{a}{b}\) が成り立つ

解法③小学生に説明する方法

濃度が \(3\) %の食塩水 \(A\) と、濃度が \(7\) %の食塩水 \(B\) があります。

この \(2\) つの食塩水を混ぜた食塩水を \(C\) と呼ぶとき、

\(A\)、\(B\)、\(C\) を濃度が薄い順に並べてください!

この質問がほぼほぼ答えです!

当然ですが、濃度の薄い食塩水 \(A\)濃い食塩水 \(B\)混ぜてできた食塩水 \(C\) は、\(A\) よりは濃いが、\(B\) よりは薄い食塩水になることは小学生でもわかりますね!

つまり、濃度に注目すると \(A<C<B\) ということが成り立ちます.

本問は、これを文字で表した問題ということです。

 

もう少し具体的な例で話をしましょう。

例えば、\(A\) は \(3\) %の食塩水なので、\(c=3\)、\(d=100\) と考えることができます。

例えば、\(B\) は \(7\) %の食塩水なので、\(a=7\)、\(b=100\) と考えることができます。

このとき、\(C\) は \(A\) と \(B\) を合わせた食塩水なので、\(a+c=10\)、\(b+d=200\)

\(\displaystyle\frac{3}{100}<\displaystyle\frac{10}{200}=\displaystyle\frac{5}{100}<\displaystyle\frac{7}{100}\) が成り立つ

つまり、\(\displaystyle\frac{c}{d}<\displaystyle\frac{a+c}{b+d}<\displaystyle\frac{a}{b}\) が成り立つことを表しています.

 

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