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【2023北海道大学・理系・第2問】空間ベクトル・球と直線の2交点の距離

ベクトル

【2023北海道大学・理系・第2問】

\(O\) を原点とする座標空間において,\(3\) 点 \(A(4,2,1)\) , \(B(1,-4,1)\) , \(C(2,2,-1)\) を通る平面を \(\alpha\) とおく.また,球面 \(S\) は半径が \(9\) で,\(S\) と \(\alpha\) の交わりは \(A\) を中心とし \(B\) を通る円であるとする.ただし,\(S\) の中心 \(P\) の \(z\) 座標は正とする.

(1) 線分 \(AP\) の長さを求めよ.

(2) \(P\) の座標を求めよ.

(3) \(S\) と直線 \(OC\) は \(2\) 点で交わる.その \(2\) 点間の距離を求めよ.

解答・解説

(1) 線分 \(AP\) の長さを求めよ.

\(\overrightarrow{AB}=(-3,-6,0)\),\(\overrightarrow{AC}=(-2,0,-2)\) で

\(AP\perp\) 平面 \(\alpha\) より三平方の定理から

\(AB^2+AP^2=BP^2\)

\(\left\{(-3)^2+6^2+0^2\right\}+AP^2=9^2\)

\(45+AP^2=81\)

よって,\(AP=6\)

(2) \(P\) の座標を求めよ.

\(P(a,b,c)\) とおく.

\(AP\perp\) 平面 \(\alpha\) より

\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) かつ \(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

\(\overrightarrow{AP}=(a-4,b-2,c-1)\) より

\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)

\(\iff\) \(-3(a-4)-6(b-2)=0\)

\(\iff\) \(a+2b-8=0\) ・・・①

\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

\(\iff\) \(-2(a-4)-2(c-1)=0\)

\(\iff\) \(a+c-5=0\) ・・・②

また(1)より \(AP=6\) より

\((a-4)^2+(b-2)^2+(c-1)^2=36\) ・・・③

①,②,③より

\((a,b,c)=(0,4,5),(8,0,-3)\)

\(P\) の \(z\) 座標は正なので,求める点 \(P(0,4,5)\)

(3) \(S\) と直線 \(OC\) は \(2\) 点で交わる.その \(2\) 点間の距離を求めよ.

球 \(S\) と直線 \(OC\) の交点を \(Q(x,y,z)\) とする.

点 \(Q\) は球 \(S\) 上の点より,\(PQ=9\)

(2)の結果から

\(PQ^2=x^2+(y-4)^2+(z-5)^2=81\) ・・・④

また点 \(Q\) は直線 \(OC\) 上の点より,実数 \(k\) を用いて

\(\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OC}\)

\((x,y,z)=k(2,2,-1)=(2k,2k,-k)\) ・・・⑤

④,⑤より

\((2k)^2+(2k-4)^2+(-k-5)^2=81\)

\(9k^2-6k-40=0\)

\(k=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{41}}{3}\)

よって球 \(S\) と直線 \(OC\) の \(2\) 交点を \(Q_{1}\),\(Q_{2}\) とすると

\(\overrightarrow{OQ_{1}}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{41}}{3}(2,2,-1)\)

\(\overrightarrow{OQ_{2}}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{41}}{3}(2,2,-1)\)

\(\overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{41}}{3}(2,2,-1)\) より

求める \(2\) 点間の距離は

\(\left|\overrightarrow{Q_{1}Q_{2}}\right|=\displaystyle\frac{2\sqrt{41}}{3}\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=2\sqrt{41}\)

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