【2024同志社大学(全学部日程)・理系・第１問(２)】
\(i\) を虚数単位とする．実数 \(t\) に対して，複素数 \(z\) に関する方程式
\(\left|3z+it\right|=\left|(t+2i)z-1\right|\)
の解 \(z\) 全体が複素数平面上で表す図形を \(C_{t}\) とする．\(C_{t}\) が円でないのは \(t^2=\)《 カ 》 のときである．\(C_{t}\) が円であるとき，その中心を表す複素数を \(w\) とし，\(w\) の偏角を \(\theta\) ( \(0≦\theta<2\pi\) ) で表す．\(w\) の虚部が \(0\) となるのは \(t=\)《 キ 》のときであり，このときの \(w\) の実部の値は《 ク 》である．また，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\tan\theta=\)《 ケ 》であり，\(\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}t|w|=\)《 コ 》である．
解答・解説
\(x\)，\(y\) を実数として，\(z=x+yi\) とおく．
\(\left|3z+it\right|=\left|(t+2i)z-1\right|\) より
\(\left|3x+(3y+t)i \right|=\left|(tx-2y-1)+(2x+ty)i\right|\)
\(2\) 乗すると
\(9x^2+(3y+t)^2=(tx-2y-1)^2+(2x+ty)^2\)
これを展開してまとめると
\((5-t^2)x^2+(5-t^2)y^2+2tx+(6t-4)y+t^2-1=0\)
これが円でないのは，\(5-t^2=0\)
つまり \(t^2=5\) ・・・《カ》
\(t^2\not=5\) のとき
\(x^2+y^2+\displaystyle\frac{2t}{5-t^2}x+\displaystyle\frac{6t-4}{5-t^2}y+\displaystyle\frac{t^2-1}{5-t^2}=0 \)
\(\left(x+\displaystyle\frac{t}{5-t^2}\right)^2+\left(y+\displaystyle\frac{3t-2}{5-t^2}\right)=\displaystyle\frac{9t^2-12t+2}{5-t^2}\)
よってこの円の中心を表す複素数 \(w\) は
\(w=\displaystyle\frac{t}{t^2-5}+\displaystyle\frac{3t-2}{t^2-5}i\)
ゆえに，\(w\) の虚部が \(0\) となるのは，\(3t-2=0\)
つまり \(t=\displaystyle\frac{2}{3}\) ・・・《キ》のとき．
\(t=\displaystyle\frac{2}{3}\) のとき \(w=-\displaystyle\frac{6}{41}\) ・・・《ク》
また，\(arg w=\theta \) のとき
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{3t-2}{t}=3-\displaystyle\frac{2}{t}\) であるから
\(\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\tan\theta=\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\left(3-\displaystyle\frac{2}{t}\right)=3\) ・・・《ケ》
\(|w|=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{t}{t^2-5}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{3t-2}{t^2-5}\right)^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{10t^2-12t+4}{t^4-10t^2+25}}\) より
\(t|w|=\sqrt{\displaystyle\frac{10t^4-12t^3+4t^2}{t^4-10t^2+25}}=\sqrt{\displaystyle\frac{10-\displaystyle\frac{12}{t}+\displaystyle\frac{4}{t^2}}{1-\displaystyle\frac{10}{t^2}+\displaystyle\frac{25}{t^4}}}\) なので
\(\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}t|w|=\sqrt{10}\) ・・・《コ》
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