【2023関西医科大学(後期)医学部】円周率πが3.2より小さいことを証明

解答・解説

(１)　\(0≦x≦1\) における \(y=f(x)\) の値域を求めよ．

\(f(x)=x^2(x+1)^2(x-1)^2=(x^3-x^2)^2\) より

\(f^{\prime}(x)=2(x^3-x)(3x^2-1)=2x(x+1)(x-1)(3x^2-1)\)

より，\(f^{\prime}(x)=0\) のとき

\(x=0,\pm 1,\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(0≦x≦1\) における増減表は次のようになる

したがって \(0≦x≦1\) における \(y=f(x)\) の値域は \(0≦y≦\displaystyle\frac{4}{27}\)

(２)　\(Q\) と \(R\) を求めよ．

\(f(x)=g(x)(x^4-3x^2+4)-4\) より

\(Q=x^4-3x^2+4\)，\(R=-4\)

(３)　\(\displaystyle\int^{1}_{0} \displaystyle\frac{R}{g(x)}dx\) を求めよ．

\(\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{R}{g(x)} dx=-4\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{1}{x^2+1} dx\)

\(x=\tan \theta\) \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}< \theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) とおくと，

\(dx=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}d \theta\)，

\(x\)：\(0\) \(\rightarrow\) \(1\) のとき，\(\theta\)：\(0\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) なので

(与式)\(=-4\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\displaystyle\frac{1}{\tan^2\theta+1}\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\)

\(1+\tan^2\theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) より

(与式)\(=-4\displaystyle\int^{1}_{0} d \theta\)

\(=-4\Bigl[ \theta \Bigr]^{\frac{\pi}{4}}_{0}\)

\(=-\pi\)

(４)　円周率が \(3.2\) より小さいことを証明せよ．

(２)より

\(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=Q+\displaystyle\frac{R}{g(x)}\) なので

\(\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}dx=\displaystyle\int^{1}_{0}(x^4-3x^2+4) dx+\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{R}{g(x)} dx\)

(３)の結果から

\(\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}dx=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{5}x^5-x^3+4x\Bigr]^{1}_{0}-\pi\)

\(=\displaystyle\frac{16}{5}-\pi=3.2-\pi\) ・・・①

ここで，\(0≦x≦1\) において \(f(x)≧0\) ，\(g(x)>0\) より

\(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}≧0\)

よって，\(\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} dx>0\) ・・・②

①，②より，\(3.2-\pi>0\) \(\iff\)  \(\pi<3.2\)

したがって，円周率は \(3.2\) より小さい．