【2024立命館大学(全学統一)・文系・第１問〔２〕】
(１)整数 \(2024\) を素数の積で表すと，
\(2024=\)《ケ》×《コ》×《サ》×《シ》×《ス》となる．
ただし，《ケ》≦《コ》≦《サ》≦《シ》≦《ス》とする．
(２) \(k\) を自然数とし，\(n=\sqrt{2024k}\) とする．
\(n\) が \(4\) 桁の整数となるとき， \(n\) の最大値は《セ》，\(n\) の最小値は《ソ》である．また，\(n\) の正の約数の個数が \(20\) であるとき \(n=\)《タ》である．
正の約数の個数・総和の公式
自然数 \(n\) の素因数分解が
\(n=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times\cdots\times p_{k}^{a_{k}}\) のとき
ただし、\(p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}\) を満たす素数、\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{k},k\) は自然数
正の約数の個数
\((a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1)\)
正の約数の総和
\((1+p_{1}+p_{1}^2+\cdots+p_{1}^{a_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^2+\cdots+p_{2}^{a_{2}})\cdots(1+p_{k}+p_{k}^2+\cdots+p_{k}^{a_{k}})\)
解答・解説
\(2024\) を素因数分解すると，
\(2024=2\times2\times2\times11\times23\) ・・・《ケ～ス》
\(n=\sqrt{2024k}\) が整数となる条件は
\(k=2\times11\times23\times a^2\) ( \(a\) は自然数 ) のときである．
このとき \(n=2^2\times11\times23\times a=1012a\) より
\(n\) が \(4\) 桁の整数となるとき
\(n\) の最大値は \(a=9\) で \(n=9108\) ・・・《セ》
\(n\) の最小値は \(a=1\) で \(n=1012\) ・・・《ソ》
\(n=2^2\times11\times23\times a=1012a\) より
\(a\) が \(2\)，\(11\)，\(23\) 以外の数を素因数にもつとすると
\(n\) は少なくとも正の約数を
\((2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24\) 個持つこととなり，題意に反する．
ゆえに \(a\) は \(2\)，\(11\)，\(23\) のみを素因数にもつ数である．
\(a=2^p\times11^q\times23^r\) ( \(p\)，\(q\)，\(r\) は負でない整数 ) とおけるので
\(n=2^{p+2}\times11^{q+1}\times23^{r+1}\)
よって正の約数の個数は
\((p+3)(q+2)(r+2)=20\)
これを満たす負でない整数 \(p\)，\(q\)，\(r\) は
\((p,q,r)=(2,0,0)\) のみ
したがって，\(n=2^4\times11\times23=4048\) ・・・《ツ》
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