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【2021 関西医科大学】x^2-| x |y+y^2=3を満たす整数解

数学(大学入試問題)

2021 関西医科大学[整数問題]

\(x^2-| x |y+y^2=3\) を満たす整数解 \(( x , y )\) をすべて求めよ.

問題文を読んで最初に思うこと

・絶対値について・・・\(x≧0\)、\(x≦0\) で場合分け
👉もちろん場合分けすればOKだが、場合分けなしでも処理できる!
 (下記に2通りの発想を紹介)
・整数解・・・整数問題のPoint!

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

本問では「2.条件から範囲を絞る」を利用

【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)

を参考に!

解答・解説

\(x^2-| x |y+y^2=3\) を満たす整数解 \(( x , y )\) をすべて求めよ.

絶対値の処理【その1:\(x^2=| x |^2\)】

\(x^2=| x |^2\) より

\(| x |^2-| x |y+y^2=3\)

\(| x |^2-y| x |+y^2-3=0\)

これが整数解を持つので、実数解を持つと考え、判別式を考えると、

(判別式) \(=(-y)^2-4(y^2-3)≧0\)

よって、\(y^2≦4\)

\(y\) は整数なので、\(y=-2 , -1 , 0 , 1 , 2\)

 

( ⅰ ) \(y=-2\) のとき

\(| x |^2+2| x |+1=0\)

\((| x |+1)^2=0\)

\(| x |=-1\)

これを満たす整数 \(x\) は存在しないため不適

 

( ⅱ ) \(y=-1\) のとき

\(| x |^2+| x |-2=0\)

\((| x |+2)(| x |-1)=0\)

\(| x |≧0\) より \(| x |=1\)

よって、\(x=\pm1\)

 

( ⅲ ) \(y=0\) のとき

\(| x |^2=3\)

これを満たす整数 \(x\) は存在しないため不適

 

( ⅳ ) \(y=1\) のとき

\(| x |^2-| x |-2=0\)

\((| x |-2)(| x |+1)=0\)

\(| x |≧0\) より \(| x |=2\)

よって、\(x=\pm2\)

 

( ⅴ ) \(y=2\) のとき

\(| x |^2-2| x |+1=0\)

\((| x |-1)^2=0\)

\(| x |=1\)

\(x=\pm1\)

 

以上より、求める整数解は

\(( x , y ) = ( -1 , -1 ) , ( 1 , -1 ) , ( -2 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( -1 , 2 ) , ( 1 , 2 )\)

絶対値の処理【その2:偶関数の利用】

\(x\) に \(-x\) を代入しても元通り

👉 \(y\) 軸に関して対称なグラフ

👉 \(x≧0\) を考えれば良い

 

参考【愛❤️のある関数】

\(x^2-| x |y+y^2=3\) のグラフは、

求める整数解は、ハートの格子点ということですね!

なかなかオシャレな問題でした。

 

他にも整数問題の考え方をたくさん紹介しています。ぜひ受験勉強にお役立てください。

整数問題は大学受験で頻出であるにも関わらず、学校の授業ではあまり学習しません。

有名パターンを一通り勉強したい人はぜひ、下の問題集のどちらか一冊を取り組みましょう!

 

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