【2023関西大学・全学日程・理系】極方程式、双曲線の漸近線

【2023関西大学・全学日程・理系】

極方程式 \(r=\displaystyle\frac{3}{1+2\sin \theta}\) で表された曲線の漸近線のうち，傾きが正のものを直交座標に関する方程式で表すと \(y=\)[ ] である．

極座標と極方程式

平面上に点 \(O\) と半直線 \(OX\) を定めると，この平面上の任意の点 \(P\) の位置は，\(OP\) の長さ \(r\) と，\(OX\) から半直線 \(OP\) へ測った角 \(\theta\) で決まる．

このとき，\(2\) つの数の組 \((r,\theta)\) を点 \(P\) の 極座標 といい，定点 \(O\) を極，半直線 \(OX\) を始線，角 \(\theta\) を偏角という．

※ 極 \(O\) の極座標は，任意の数 \(\theta\) を用いて \(0,\theta\) と定める．また，\(\theta\) は弧度法で表した一般角．

極座標に対して，これまで用いてきた \(x\) 座標，\(y\) 座標の組 \((x,y)\) で表した座標を直交座標という．

座標平面において，極座標を考えるとき，原点 \(O\) を極，\(x\) 軸の正の部分を始線とすると，極座標と直交座標の間には次の関係がある．

１．\(x=r\cos \theta\) , \(y=r\sin \theta\)

２．\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)

ある曲線が極座標 \((r, \theta)\) に関する方程式 \(r=f(\theta)\) や \(F(r, \theta)=0\) で表されるとき，この方程式を曲線の 極方程式 という．

双曲線 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=\pm 1\) の漸近線は \(y=\pm \displaystyle\frac{b}{a}x\)

\(r=\displaystyle\frac{3}{1+2\sin \theta}\) より

\(r+2r\sin \theta=3\) \(\iff\) \(r=3-2r\sin \theta\)

\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，\(y=r\sin \theta\) より

\(\sqrt{x^2+y^2}=3-2y\)

\(2\) 乗すると

\(x^2+y^2=(3-2y)^2\)

\(x^2-3y^2+12y=9\)

\(\displaystyle\frac{x^2}{3}-(y-2)^2=-1\)

よって，双曲線 \(\displaystyle\frac{x^2}{3}-(y-2)^2=-1\) の漸近線は \(y-2=\pm\displaystyle\frac{x}{\sqrt{3}}\)

これらのうち，傾きが正であるものは \(y=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{3}}+2\)