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【東京大学・理類】漸化式で定められた数列の極限について

東京大学

【東京大学・理類】

関数 \(f(x)\) を \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}\) とする.

ただし,\(e\) は自然数対数の底である.

(1) \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) ならば \(0≦f^{\prime}(x)<\displaystyle\frac{1}{2}\) であることを示せ.

(2) \(x_{0}\) を正の数とするとき,数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) ( \(n=0,1,\cdots\) ) を,\(x_{n+1}=f(x_{n})\) によって定める.

\(x_{0}>\displaystyle\frac{1}{2}\) であれば,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=1 \)

であることを示せ.

漸化式で定められた数列の極限の求め方

漸化式の一般項が求められなくても,極限値を求めることができる問題は頻出タイプです!

解法の手順を確認しておきましょう!

数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) が漸化式

\(a_{1}=a\) , \(a_{n+1}=f(a_{n})\) ・・・①

を満たし,\(\left\{a_{n}\right\}\) は \(\alpha\) に収束するとする.

( ⅰ ) ①の両辺で \(n\) \(\rightarrow\) \(\infty\) とすると \(\alpha=f(\alpha)\) となる.

よって,極限値 \(\alpha\) は,\(x=f(x)\) の解

( ⅱ ) 不等式 \(|a_{n+1}-\alpha|≦|a_{n}-\alpha|\) ( \(r\) は \(0<r<1\) を満たす定数 ) ・・・②

を導く.

( ⅲ ) ②を繰り返し用いて,

\(0≦|a_{n+1}-\alpha|≦r^{n-1}|a_{1}-\alpha|\)

\(0<r<1\) より,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n-1}|a_{1}-\alpha|=0 \) であるから,

はさみうちの原理より,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|a_{n}-\alpha|=0\)

つまり,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha\)

解答・解説

(1)

\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}\) より

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{1+e^{-2(x-1)}-2xe^{-2(x-1)}\right\}\)

\(f^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{-2e^{-2(x-1)}-2e^{-2(x-1)}+4xe^{-2(x-1)}\right\}\)

\(=2e^{-2(x-1)}(x-1)\)

\(x\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) ・・・ \(1\) ・・・
\(f^{\prime\prime}(x)\) \(0\)
\(f^{\prime}(x)\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) ↘️ \(0\) ↗️

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{2}\left\{1+\displaystyle\frac{1}{e^{2(x-1)}}+\displaystyle\frac{2x}{e^{2(x-1)}}\right\}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) ならば \(0≦f^{\prime}(x)<\displaystyle\frac{1}{2}\)

(2)

まず初めに,\(x_{n}>\displaystyle\frac{1}{2}\) ( \(n=0,1,2,\cdots\) ) ・・・①

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す.

( ⅰ ) \(n=0\) のとき

\(x_{0}>\displaystyle\frac{1}{2}\) より成立する.

( ⅱ ) \(n=k\) のとき,\(x_{k}>\displaystyle\frac{1}{2}\) と仮定する

(1)より,\(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき

\(0≦f^{\prime}(x)<\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから,

\(f(x)\) は \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) において単調増加である.

よって,\(f(x)>f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)

\(f(x)>\displaystyle\frac{1}{4}(1+e)>\displaystyle\frac{1}{4}(1+1)=\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって,\(x_{n+1}=f(x_{n})>\displaystyle\frac{1}{2}\)

となり \(n=k+1\) のときも成り立つ.

( ⅰ ),( ⅱ )より,①は常に成り立つ.

 

次に \(a\) , \(b\) を \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) を満たす数とする.

\(a\not=b\) のとき平均値の定理より

\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\) ・・・②

をみたす \(c\) が \(a\) と \(b\) の間に存在する.

\(c>\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから,(1)より \(0≦f^{\prime}(c)<\displaystyle\frac{1}{2}\) なので②より

\(|f(b)-f(a)|=|f^{\prime}(c)||b-a|≦\displaystyle\frac{1}{2}|b-a|\) ・・・③

また,\(a=b\) のときも③は成り立つ.

 

③において,\(a=1\) , \(b=x_{n}\) とすると

\(|f(x_{n})-f(1)|≦\displaystyle\frac{1}{2}|x_{n}-1|\)

\(|f(x_{n})-1|≦\displaystyle\frac{1}{2}|x_{n}-1|\) ・・・④

④を繰り返し用いると

\(0≦|x_{n}-1|<\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n|x_{0}-1|\)

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n|x_{0}-1|=0 \)

であるから,はさみうちの原理より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} |x_{n}-1|=0\)

したがって,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=1 \)

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