【1995東京大学】
すべての正の実数 \(x\) , \(y\) に対し，
\(\sqrt{x}+\sqrt{y} ≦ k\sqrt{2x+y}\)
が成り立つような実数 \(k\) の最小値を求めよ．
コーシー・シュワルツの不等式の利用
コーシー・シュワルツの不等式
任意の実数 \(a_{i}\) , \(b_{i}\) に対して
\(2\) 文字のとき
\(\left(a^2_{1}+a^2_{2}\right)\left(b^2_{1}+b^2_{2}\right)≧\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\right)^2\)
等号成立は，\(a_{1} : a_{2} = b_{1} : b_{2}\) のとき
\(3\) 文字のとき
\(\left(a^2_{1}+a^2_{2}+a^2_{3}\right)\left(b^2_{1}+b^2_{2}+b^2_{3}\right)≧\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\right)^2\)
等号成立は，\(a_{1} : a_{2} : a_{3} = b_{1} : b_{2} : b_{3}\) のとき
一般に任意の正の整数 \(n\) に対して，
\(\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a^2_{i}}\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{b^2_{i}}\right)≧\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\right)^2\)
解答・解説
コーシー・シュワルツの不等式より
\(\left(a^2_{1}+a^2_{2}\right)\left(b^2_{1}+b^2_{2}\right)≧\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\right)^2\)
等号成立は，\(a_{1} : a_{2} = b_{1} : b_{2}\) のとき
が成り立つ．この式に
\(a_{1}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) , \(a_{2}=1\) , \(b_{1}=\sqrt{2x}\) , \(b_{2}=\sqrt{y}\) とすして代入すると，
\(\left(\displaystyle\frac{1}{2}+1\right)\left(2x+y\right)≧\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2x}+\sqrt{y}\right)^2\)
よって，\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2≦\displaystyle\frac{3}{2}\left(2x+y\right)\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}≦\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{2x+y}\)
等号成立は，\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = \sqrt{x} : \sqrt{y}\)
つまり，\(y=4x\) のとき
求める実数 \(k\) の最小値は \(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\)
コメント